19-27) Use polar coordinates to find the volume of the given solid.
Enclosed by the hyperboloid -x^2-y^2+z^2=1 and the plane z=2

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pela parte superior do hiperboloide de revolução
-x^2 - y^2 + z^2 = 1
e pelo plano z=2, usando coordenadas polares (cilíndricas). Vamos precisar usar o jacobiano r e escrever as fronteiras em função de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x = rcostheta, y = rsintheta e o hiperboloide vira
z^2 - r^2 = 1 Longrightarrow z = pmraiz1 + r^2
Como o plano z=2 só intercepta a parte positiva, a fronteira inferior do sólido é z = raiz1 + r^2.

Passo 3

A interseção entre o hiperboloide e o plano z=2 satisfaz
$$2^2 - r^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{3}.
2^2 - r^2 = 1 Longrightarrow r^2 = 3 Longrightarrow r = raiz3 ã0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le r \le \sqrt{3}, \quad \sqrt{1 + r^2} \le z \le 2.
$$

Passo 4

O volume em coordenadas cilíndricas é
V = integral0^2pi ! integral0^raiz3 ! integralz=raiz1+r^2^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro integramos em z:
integralraiz1+r^2^2 dz = 2 - raiz1 + r^2,
então
V = 2pi integral0^raiz3 (2 - raiz1 + r^2),r,dr

Passo 5

Dividimos a integral em duas partes:
integral0^raiz3 2r,dr = l[r^2r]0^raiz3 = 3,
integral0^raiz3 rraiz1 + r^2,dr
Para esta usamos a substituição u = 1 + r^2, du = 2r,dr:
integral rraiz1 + r^2,dr = tfrac12 integral raizu,du = tfrac12 cdot tfrac23u^3/2 = tfrac13(1 + r^2)^3/2
Avaliando de 0 a raiz3
tfrac13l[(1+3)^3/2 - 1^3/2r] = tfrac13(8 - 1) = tfrac73

Passo 6

Somando e multiplicando por 2pi:
V = 2pi l(3 - tfrac73r) = 2pi cdot tfrac23 = tfrac4pi3

Resposta

4pi3

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