19-27) Use polar coordinates to find the volume of the given solid.
Enclosed by the hyperboloid
and the plane
Enclosed by the hyperboloid
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido limitado pela parte superior do hiperboloide de revolução
e pelo plano
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
,
e o hiperboloide vira
Como o plano
Passo 3
A interseção entre o hiperboloide e o plano
satisfaz
$$2^2 - r^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{3}.
$$
Passo 4
O volume em coordenadas cilíndricas é
Primeiro integramos em
:
então
Passo 5
Dividimos a integral em duas partes:
Para esta usamos a substituição
,
:
Avaliando de
a
dá
Passo 6
Somando e multiplicando por
: