3.14 (Exemplo) A bússola de um avião mostra que ele se desloca para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Se existe um vento de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} de leste para oeste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra?

Passo 1

Resumindo o enunciado: o avião tem velocidade em relação ao ar de 240\,\mathrm{km/h} apontando para o norte, e há um vento de 100\,\mathrm{km/h} soprando de leste para oeste. O objetivo é usar adição vetorial para encontrar a velocidade do avião em relação à Terra.

Passo 2

Vamos representar as velocidades como vetores no plano horizontal, adotando \hat{\imath} para o eixo leste–oeste (positivo em direção ao leste) e \hat{\jmath} para o eixo sul–norte (positivo em direção ao norte). Assim:
\vec v_{pa} = 240\,\mathrm{km/h}\,\hat{\jmath},
\vec v_{wind} = -100\,\mathrm{km/h}\,\hat{\imath}.

Passo 3

A velocidade do avião em relação à Terra \vec v_{gt} é a soma vetorial da velocidade em relação ao ar com a do vento:
\vec v_{gt} = \vec v_{pa} + \vec v_{wind} = -100\,\mathrm{km/h}\,\hat{\imath} + 240\,\mathrm{km/h}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Para achar a rapidez resultante, calculamos a magnitude de \vec v_{gt} pelo teorema de Pitágoras:
\|\vec v_{gt}\| = \sqrt{(-100)^2 + 240^2} = \sqrt{10000 + 57600} = 260\,\mathrm{km/h}.

Passo 5

Para determinar a direção, medimos o ângulo \theta a partir do norte em direção ao oeste. Como o componente oeste é |-100| e o norte é 240, temos
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{100}{240}\bigr)\approx 22{,}6^\circ.
Ou seja, o avião se move com 260\,\mathrm{km/h} formando cerca de 22{,}6^\circ para oeste a partir do norte.

Resposta

A velocidade do avião em relação à Terra é de 260\,\mathrm{km/h} na direção 22{,}6^\circ a oeste do norte.

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