Uma partícula de massa m se move em uma linha reta, de tal modo que o quadrado de sua velocidade v^{2} decai linearmente com a distância percorrida x. No instante inicial ( t=0 ), a partícula parte da posição x_{0}=0 com velocidade v_{0}. Observa-se que a partícula atinge o repouso após percorrer uma distância x_{1}.
a) Encontre a força resultando agindo sobre a partícula.
b) Determine o tempo total t_{1} de movimento.

Passo 1

O enunciado diz que a partícula de massa m movimenta-se de modo que
v^{2}(x)=v_{0}^{2}\Bigl(1-\frac{x}{x_{1}}\Bigr),
começando em x=0 com velocidade v_{0} e parando em x=x_{1}.
Vamos usar a relação da dinâmica unidimensional
F = m\,a,\quad a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx},
para achar a força, e depois integrar dt=dx/v para achar o tempo total t_{1}.

Passo 2

Da lei dada temos
v^{2}=v_{0}^{2}\Bigl(1-\frac{x}{x_{1}}\Bigr).
Derivando em relação a x:
2v\,\frac{dv}{dx}=-\,\frac{v_{0}^{2}}{x_{1}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx}=-\,\frac{v_{0}^{2}}{2\,v\,x_{1}}.
Logo a aceleração é
a = v\,\frac{dv}{dx} = v\Bigl(-\frac{v_{0}^{2}}{2\,v\,x_{1}}\Bigr) =-\,\frac{v_{0}^{2}}{2\,x_{1}}.
Como F=m\,a, a força resultante é constante e igual a
F=-\,\frac{m\,v_{0}^{2}}{2\,x_{1}}.

Passo 3

Para o tempo total usamos
dt=\frac{dx}{v} =\frac{dx}{\sqrt{v_{0}^{2}(1-x/x_{1})}} =\frac{dx}{v_{0}\sqrt{1-x/x_{1}}}.
Fazendo a substituição u=1-x/x_{1}, dx=-x_{1}\,du, quando x vai de 0 a x_{1}, u vai de 1 a 0. Então
t_{1} =\int_{0}^{x_{1}}\frac{dx}{v_{0}\sqrt{1-x/x_{1}}} =\frac{x_{1}}{v_{0}}\int_{1}^{0}\frac{-du}{\sqrt{u}} =\frac{x_{1}}{v_{0}}\int_{0}^{1}u^{-1/2}du =\frac{x_{1}}{v_{0}}\bigl[2\sqrt{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac{2\,x_{1}}{v_{0}}.

Resposta

a) \;F = -\dfrac{m\,v_{0}^{2}}{2\,x_{1}}.
b) \;t_{1} = \dfrac{2\,x_{1}}{v_{0}}.

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