Uma partícula de massa m se move sobre em uma dimensão sob ação de uma força F(v)= \frac{k \sqrt{v}}{m}, sendo k uma constante cujo valor é k=2\left(m / s^{3}\right)^{1 / 2}. Observa-se que no instante inicial (t=0) a partícula se encontra na posição x_{0}=\frac{1}{3} m, com velocidade v_{0}=1 m / \mathrm{s}. Com base nesses dados, determine a posição x, a velocidade v e a aceleração a da partícula no instante t=2 s.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m se move em 1D sob uma força que depende da velocidade, dada por
F(v)=\frac{k\sqrt{v}}{m},
com k=2\,(m/s^{3})^{1/2}. Como F= m\,a, isso implica
a=\frac{dv}{dt}=F(v)=\frac{k\sqrt{v}}{m}.
Temos as condições iniciais
x(0)=x_{0}=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad v(0)=v_{0}=1.
Para encontrar v(t) vamos resolver a equação diferencial por variáveis separáveis; depois integramos v(t) para achar x(t) e avaliamos tudo em t=2,s.

Passo 2

Separamos variáveis na equação
\frac{dv}{dt}=\frac{k}{m}v^{1/2}
escrevendo
v^{-1/2}\,dv=\frac{k}{m}\,dt.
Integrando de 0 a t e de v_{0}=1 a v(t):
\int_{1}^{v}v^{-1/2}dv =\int_{0}^{t}\frac{k}{m}dt' \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(\sqrt{v}-1\bigr)=\frac{k}{m}\,t.
Logo
\sqrt{v} =1+\frac{k}{2m}\,t \quad\Longrightarrow\quad v(t) =\Bigl(1+\tfrac{k}{2m}t\Bigr)^{2}.
Como k=2\,(m/s^{3})^{1/2}, temos \tfrac{k}{2m}=\tfrac{1}{m}, então
v(t)=\Bigl(1+\tfrac{t}{m}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Para x(t) integramos v(t):
x(t) =x_{0}+\int_{0}^{t}v(t')\,dt' =\tfrac{1}{3}+\int_{0}^{t}\bigl(1+\tfrac{t'}{m}\bigr)^{2}dt'.
Expandindo e integrando:
\int_{0}^{t}\Bigl(1+\tfrac{t'}{m}\Bigr)^{2}dt' =\int_{0}^{t}\Bigl(1+\tfrac{2t'}{m}+\tfrac{t'^{2}}{m^{2}}\Bigr)dt' =t+\frac{t^{2}}{m}+\frac{t^{3}}{3m^{2}}.
Portanto
x(t)=\frac{1}{3}+t+\frac{t^{2}}{m}+\frac{t^{3}}{3m^{2}}.

Passo 4

A aceleração é
a(t)=\frac{dv}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(1+\tfrac{t}{m}\Bigr)^{2} =2\Bigl(1+\tfrac{t}{m}\Bigr)\frac{1}{m} =\frac{2}{m}\Bigl(1+\tfrac{t}{m}\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamos em t=2,s:
  1. Velocidade:
v(2)=\Bigl(1+\tfrac{2}{m}\Bigr)^{2}.
  1. Posição:
x(2) =\frac{1}{3}+2+\frac{2^{2}}{m}+\frac{2^{3}}{3m^{2}} =\frac{7}{3}+\frac{4}{m}+\frac{8}{3m^{2}}.
  1. Aceleração:
a(2) =\frac{2}{m}\Bigl(1+\tfrac{2}{m}\Bigr) =\frac{2}{m}+\frac{4}{m^{2}}.

Resposta

x(2)= \displaystyle\frac{7}{3}+\frac{4}{m}+\frac{8}{3m^{2}}
v(2)= \displaystyle\bigl(1+\tfrac{2}{m}\bigr)^{2}
a(2)= \displaystyle\frac{2}{m}+\frac{4}{m^{2}}

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