7-Uma bomba térmica é um dispositivo que, atuando como refrigerador, pode aquecer uma casa retirando calor do exterior através de algum trabalho e descarregando calor dentro da casa. Suponha que a temperatura no exterior é de (-10^{\circ} \mathrm{C}) e a do interior da casa é mantida a 22 ({ }^{\circ} \mathrm{C}). É necessário injetar calor no interior da casa à taxa de 16 kW , para compensar as perdas normais de calor. Qual é o trabalho mínimo por unidade de tempo que deve ser fornecido à bomba térmica?
Resposta: No mínimo (1,7 \mathrm{~kW}).

Passo 1

O problema descreve uma bomba térmica funcionando como o reverso de um motor de Carnot, que retira calor do exterior a -10^\circ C e o descarrega no interior da casa a 22^\circ C. Queremos saber qual é a potência mínima de trabalho necessária para manter uma taxa de calor Q_H=16\,\mathrm{kW} sendo entregue dentro da casa. O assunto aqui é termodinâmica de ciclo de Carnot e coeficiente de desempenho de bomba de calor.

Passo 2

Convertemos as temperaturas para Kelvin:
Temperatura interna (quente):
T_H = 22^\circ C + 273 = 295\,K
Temperatura externa (fria):
T_C = -10^\circ C + 273 = 263\,K

Passo 3

Para uma bomba de calor reversa ideal (Carnot), o coeficiente de desempenho é
\mathrm{COP} \;=\;\frac{Q_H}{W}\;=\;\frac{T_H}{\,T_H - T_C\,}
onde Q_H é a taxa de calor entregue no interior e W é a potência de trabalho fornecida.

Passo 4

Isolando W na expressão acima:
W = \frac{Q_H}{\mathrm{COP}}.
Calculando primeiro
\mathrm{COP} = \frac{295}{295 - 263} = \frac{295}{32} \approx 9{,}2188
e usando Q_H = 16\,\mathrm{kW}, obtemos
W = \frac{16}{9{,}2188} \approx 1{,}735\,\mathrm{kW}.

Resposta

O trabalho mínimo por unidade de tempo que deve ser fornecido à bomba térmica é aproximadamente 1{,}7\,\mathrm{kW}.

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