14 (H76) - Um cilindro infinitamente longo de raio R contém uma distribuição uniforme de cargas. (a) Mostre que, a uma distância
do cilindro,
Onde
é a densidade volumétrica de cargas. (b) Escreva uma expressão para E quando
. R:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente usar Gauss pra achar o campo elétrico de um cilindro infinito de raio
com densidade volumétrica de carga
.
Conteúdo: Lei de Gauss ( ).
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: Lei de Gauss (
O que a gente vai precisar:
- Escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial ao cilindro de raio
e comprimento . - Calcular fluxo do campo e a carga interna.
- Tratar separadamente os casos
(dentro do cilindro) e (fora do cilindro).
Passo 2
Caso
(ponto dentro do cilindro):
- Superfície Gaussiana: cilíndrica de raio
e comprimento . - Simetria: o campo
é radial e tem o mesmo módulo em toda a lateral. Então
- Carga interna: volume do cilindro de raio
e altura é , então
- Lei de Gauss:
Passo 3
Caso
(ponto fora do cilindro):
- Agora a superfície Gaussiana de raio
envolve todo o cilindro carregado (até ). - Fluxo continua sendo
. - Carga interna é a carga total do cilindro de raio
:
- Lei de Gauss:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
: