14 (H76) - Um cilindro infinitamente longo de raio R contém uma distribuição uniforme de cargas. (a) Mostre que, a uma distância r do cilindro,
E=rho R2 varepsilon0
Onde rho é a densidade volumétrica de cargas. (b) Escreva uma expressão para E quando r>R. R: rho R^22 varepsilon0 r.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar Gauss pra achar o campo elétrico de um cilindro infinito de raio com densidade volumétrica de carga .
Conteúdo: Lei de Gauss ( ).
O que a gente vai precisar:
  • Escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial ao cilindro de raio e comprimento .
  • Calcular fluxo do campo e a carga interna.
  • Tratar separadamente os casos (dentro do cilindro) e (fora do cilindro).

Passo 2

Caso Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi r L) (ponto dentro do cilindro):
  1. Superfície Gaussiana: cilíndrica de raio Qint = rho,(pi r^2 L) e comprimento E(r),2pi r L = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r) = rho,r2varepsilon0 .
  2. Simetria: o campo é radial e tem o mesmo módulo em toda a lateral. Então
  1. Carga interna: volume do cilindro de raio e altura é , então
  1. Lei de Gauss:

Passo 3

Caso Qint = rho,(pi R^2 L) (ponto fora do cilindro):
  1. Agora a superfície Gaussiana de raio E(r),2pi r L = rho,pi R^2 Lvarepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r) = rho,R^22varepsilon0,r envolve todo o cilindro carregado (até ).
  2. Fluxo continua sendo .
  3. Carga interna é a carga total do cilindro de raio :
  1. Lei de Gauss:

Resposta

(a) Para boxedE(r)=rho,r2,varepsilon0 :
boxedE(r)=rho,R^22,varepsilon0,r
(b) Para :

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