Um bloco com massa m abandonado do repouso num plano inclinado com coeficiente de atrito é 0,5 . A partir das condições de contorno (x(0)=0 m ; dotx(t)=0 m / s), determine as equações da posição x(t) e velocidade dotx(t).
Considere: g=10 m / s^2 ; sen(37^circ)=0,6 ; cos (37^circ)=0,8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco com massa $ m $ que é solto do repouso em um plano inclinado. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,5. Queremos descobrir as equações que descrevem a posição $ x(t) $ e a velocidade $ \dot{x}(t) $ do bloco ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos em plano inclinado e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco:
  1. Peso ($ P $): A força da gravidade que puxa o bloco para baixo, com intensidade $ P = m \cdot g $, onde $ g = 10 , m/s^2 $.
  2. Força normal ($ N $): A força perpendicular ao plano inclinado, que equilibra a componente do peso perpendicular ao plano.
  3. **Força de atrito ($ F_a P ç \mu $) e da força normal.

Passo 3

Vamos decompor o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado:
  • Componente paralela ($ P_{\parallel} $): $ P_{\parallel} = P \cdot \sin(\theta) = m \cdot g \cdot \sin(37^\circ) $
  • Componente perpendicular ($ P_{\perp} $): $ P_{\perp} = P \cdot \cos(\theta) = m \cdot g \cdot \cos(37^\circ) $
Sabemos que $ \sin(37^\circ) = 0,6 $ e $ \cos(37^\circ) = 0,8 $, então:
  • $ P_{\parallel} = m \cdot 10 \cdot 0,6 = 6m $
  • $ P_{\perp} = m \cdot 10 \cdot 0,8 = 8m $

Passo 4

A força de atrito ($ F_a $) é dada por:
Fa
Como a força normal $ N $ é igual à componente perpendicular do peso:
Fa = mu cdot N

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton na direção do movimento (paralela ao plano inclinado):
Fresu
A força resultante é a componente paralela do peso menos a força de atrito:
6m - 4m = m cdot a
Simplificando:
2m = m cdot a
Cancelando $ m $:
m

Passo 6

Sabemos que a aceleração $ a $ é constante e igual a $ 2 , m/s^2 $. Para encontrar a velocidade $ \dot{x}(t) $, integramos a aceleração em relação ao tempo:
a
Usando a condição inicial $ \dot{x}(0) = 0 $:
2 , m/s^2
Então:
dotx(t)

Passo 7

Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, integramos a velocidade em relação ao tempo:
x(t)
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
x(t) = integral dotx(t) , dt = integral 2t , dt = t^2 + C
Então:
x(0) = 0

Resposta

As equações que descrevem a posição e a velocidade do bloco ao longo do tempo são:
x(t) = t^2
dotx(t) = 2t

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