Um bloco com massa
abandonado do repouso num plano inclinado com coeficiente de atrito é 0,5 . A partir das condições de contorno
, determine as equações da posição
e velocidade
.
Considere:
Considere:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco com massa $ m $ que é solto do repouso em um plano inclinado. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,5. Queremos descobrir as equações que descrevem a posição $ x(t) $ e a velocidade $ \dot{x}(t) $ do bloco ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos em plano inclinado e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no bloco:
- Peso ($ P $): A força da gravidade que puxa o bloco para baixo, com intensidade $ P = m \cdot g $, onde $ g = 10 , m/s^2 $.
- Força normal ($ N $): A força perpendicular ao plano inclinado, que equilibra a componente do peso perpendicular ao plano.
- **Força de atrito ($ F_a
\mu $) e da força normal.
Passo 3
Vamos decompor o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano inclinado:
- Componente paralela ($ P_{\parallel} $): $ P_{\parallel} = P \cdot \sin(\theta) = m \cdot g \cdot \sin(37^\circ) $
- Componente perpendicular ($ P_{\perp} $): $ P_{\perp} = P \cdot \cos(\theta) = m \cdot g \cdot \cos(37^\circ) $
Sabemos que $ \sin(37^\circ) = 0,6 $ e $ \cos(37^\circ) = 0,8 $, então:
- $ P_{\parallel} = m \cdot 10 \cdot 0,6 = 6m $
- $ P_{\perp} = m \cdot 10 \cdot 0,8 = 8m $
Passo 4
A força de atrito ($ F_a $) é dada por:
Como a força normal $ N $ é igual à componente perpendicular do peso:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton na direção do movimento (paralela ao plano inclinado):
A força resultante é a componente paralela do peso menos a força de atrito:
Simplificando:
Cancelando $ m $:
Passo 6
Sabemos que a aceleração $ a $ é constante e igual a $ 2 , m/s^2 $. Para encontrar a velocidade $ \dot{x}(t) $, integramos a aceleração em relação ao tempo:
Usando a condição inicial $ \dot{x}(0) = 0 $:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
Então:
Resposta
As equações que descrevem a posição e a velocidade do bloco ao longo do tempo são: