S-3.14
(a) Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado só pode ser um dos seguintes:
e 9 .
(b) Mostre que nenhum dos números 22, 222,
, ou
, ou
, ou ainda
pode ser um quadrado.
(b) Mostre que nenhum dos números 22, 222,
Passo 1
O enunciado trata de dígitos finais de quadrados perfeitos e pede duas coisas:
- Mostrar que o dígito das unidades de
só pode ser um dos valores em . - Concluir que qualquer número formado apenas por dígitos repetidos “2”, “3”, “7” ou “8” (por exemplo
, etc.) não pode ser um quadrado perfeito.
O conteúdo principal usado será aritmética modular módulo, que nos dá o dígito das unidades de qualquer inteiro.
Passo 2
Para achar os possíveis dígitos das unidades de um quadrado, basta olhar os resíduos de
módulo
para
. Calculamos:
Os resíduos distintos obtidos são
Passo 3
Concluímos então que, para qualquer inteiro
, o dígito das unidades de
só pode ser um dos elementos do conjunto
Passo 4
Agora consideramos os números compostos apenas pelos dígitos repetidos “2”, “3”, “7” ou “8”. Todos eles terminam necessariamente em “2”, “3”, “7” ou “8”. Mas vimos que nenhum quadrado pode ter dígito das unidades igual a esses valores, pois eles não estão em
. Logo, números como
terminam em
ou
e, por isso, nenhum deles pode ser um quadrado perfeito.
Resposta
(a) Os possíveis dígitos das unidades de um quadrado são
(b) Como quadrados não podem terminar em
ou
, nenhum dos números formados por repetições de “2”, “3”, “7” ou “8” pode ser quadrado.