S-3.14

(a) Mostre que o algarismo das unidades de um quadrado só pode ser um dos seguintes: 0,1,4,5,6 e 9 .
(b) Mostre que nenhum dos números 22, 222, 2222, ldots, ou 33, 333, 3333, ldots, ou 77,777,7777, ldots, ou ainda 88,888,8888, ldots pode ser um quadrado.

Passo 1

O enunciado trata de dígitos finais de quadrados perfeitos e pede duas coisas:
  1. Mostrar que o dígito das unidades de n^2 só pode ser um dos valores em 0,1,4,5,6,9.
  2. Concluir que qualquer número formado apenas por dígitos repetidos “2”, “3”, “7” ou “8” (por exemplo 22,222,2222,dots, 33,333,3333,dots etc.) não pode ser um quadrado perfeito.
    O conteúdo principal usado será aritmética modular módulo 10, que nos dá o dígito das unidades de qualquer inteiro.

Passo 2

Para achar os possíveis dígitos das unidades de um quadrado, basta olhar os resíduos de ,k^2 módulo 10 para k=0,1,2,dots,9. Calculamos:
0^2 &equiv 0 pmod10, 1^2 &equiv 1 pmod10, 2^2 &equiv 4 pmod10, 3^2 &equiv 9 pmod10, 4^2 &equiv 16equiv6 pmod10, 5^2 &equiv 25equiv5 pmod10, 6^2 &equiv 36equiv6 pmod10, 7^2 &equiv 49equiv9 pmod10, 8^2 &equiv 64equiv4 pmod10, 9^2 &equiv 81equiv1 pmod10
Os resíduos distintos obtidos são
0,1,4,5,6,9

Passo 3

Concluímos então que, para qualquer inteiro n, o dígito das unidades de n^2 só pode ser um dos elementos do conjunto
0,1,4,5,6,9

Passo 4

Agora consideramos os números compostos apenas pelos dígitos repetidos “2”, “3”, “7” ou “8”. Todos eles terminam necessariamente em “2”, “3”, “7” ou “8”. Mas vimos que nenhum quadrado pode ter dígito das unidades igual a esses valores, pois eles não estão em 0,1,4,5,6,9. Logo, números como
22,;222,;2222,dots; 33,;333,;3333,dots; 77,;777,;7777,dots; 88,;888,;8888,dots
terminam em ,2,3,7 ou 8 e, por isso, nenhum deles pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

(a) Os possíveis dígitos das unidades de um quadrado são
0,,1,,4,,5,,6,,9
(b) Como quadrados não podem terminar em 2,3,7 ou 8, nenhum dos números formados por repetições de “2”, “3”, “7” ou “8” pode ser quadrado.

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