Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(theta)=sen^2(theta2) cos ^2(theta2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(theta)=sin^2!l(tfractheta2r),cos^2!l(tfractheta2r)
usando a regra da cadeia. Vamos usar um identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo para o seno:
sintheta = 2,sin!l(tfractheta2r)cos!l(tfractheta2r)
Elevando ao quadrado, fica
sin^2theta = 4,sin^2!l(tfractheta2r)cos^2!l(tfractheta2r)
Logo,
f(theta)=sin^2!l(tfractheta2r)cos^2!l(tfractheta2r) =14,sin^2theta

Passo 3

Agora derivamos f(theta)=tfrac14sin^2theta. Pela regra da cadeia,
ddthetal(sin^2thetar) =2,sintheta;ddtheta(sintheta) =2,sinthetacostheta
Portanto,
f'(theta) =14,l(2,sinthetacosthetar) =12,sinthetacostheta

Passo 4

Para simplificar, usamos a identidade sin2theta=2sinthetacostheta. Assim,
f'(theta) =12,sinthetacostheta =12,sin2theta2 =14,sin2theta

Resposta

f'(theta)=12,sinthetacostheta ou f'(theta)=14,sin2theta

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