Em cada um dos problemas, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
y^prime+(tan t) y=sin t, y(pi)=0

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + (tan t),y = sin t, y(pi)=0
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Existência e Unicidade para equações lineares da forma
y' + p(t),y = g(t),
que garante solução única em torno de t0 sempre que p e g forem contínuas num intervalo que contenha t0.

Passo 2

Aqui temos
p(t)=tan t, g(t)=sin t
A função sin t é contínua em todo R, mas tan t tem descontinuidades nos pontos
t = pi2 + kpi, kinZ,
pois ali o cosseno é zero.

Passo 3

O valor inicial está em t0=pi. Os vizinhos mais próximos onde tan t não é contínua são
t=pi2 e t=3pi2
Logo, o maior intervalo aberto que contém pi e não atinge essas descontinuidades é
l(tfracpi2,,tfrac3pi2r)
Nesse intervalo p e g são contínuas, então ali a solução existe e é única.

Resposta

A solução certamente existe (e é única) em
l(tfracpi2,,tfrac3pi2r).

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