(a) Sejam dados os dois números
e
, com
. Mostre que
é múltiplo de 7 se , e somente se,
é múltiplo de 7 .
(b) Deduza o seguinte critério de multiplicidade de 7 :
número
é múltiplo de 7 se, e somente se, o número
é múltiplo de 7.
(c) Utilize repetidas vezes o critério acima para verificar se 2368 é ou não múltiplo de 7 .
(b) Deduza o seguinte critério de multiplicidade de 7 :
(c) Utilize repetidas vezes o critério acima para verificar se 2368 é ou não múltiplo de 7 .
Passo 1
O enunciado trata de um critério de divisibilidade por 7 em base decimal. Em (a) temos dois inteiros
e
e queremos mostrar que
se, e somente se,
. Em (b) iremos estender esse resultado para um número decimal genérico
. Em (c) aplicamos o critério repetidamente para decidir se 2368 é divisível por 7.
Passo 2
Para provar (a), use aritmética modular. Note que
porque
. Mas
logo
Como
é invertível módulo 7, segue que
se, e somente se,
. Portanto
é múltiplo de 7 exatamente quando
é múltiplo de 7.
Passo 3
Para (b), escreva o número decimal
como
, onde
. Pelo item (a),
se, e somente se,
Isso é justamente o critério pedido: um número é múltiplo de 7 se, e somente se, o número formado por retirar o último dígito e subtrair duas vezes esse dígito for múltiplo de 7.
Passo 4
Aplicando o critério a
:
- Separe
, . Calcule . - Agora em
, temos , . Calcule . - Em
, temos , . Calcule .
Comonão é múltiplo de 7, concluímos que nem 22, nem 220, nem 2368 o são.
Resposta
2368 não é múltiplo de 7.