(a) Sejam dados os dois números a=10 c+r e b=c-2 r, com c, r in Z. Mostre que a é múltiplo de 7 se , e somente se, b é múltiplo de 7 .
(b) Deduza o seguinte critério de multiplicidade de 7 :
O número n=ar cdots a1 a0 é múltiplo de 7 se, e somente se, o número ar cdots a1-2 a0 é múltiplo de 7.
(c) Utilize repetidas vezes o critério acima para verificar se 2368 é ou não múltiplo de 7 .

Passo 1

O enunciado trata de um critério de divisibilidade por 7 em base decimal. Em (a) temos dois inteiros a=10c+r e b=c-2r e queremos mostrar que 7mid a se, e somente se, 7mid b. Em (b) iremos estender esse resultado para um número decimal genérico n=arcdots a1a0. Em (c) aplicamos o critério repetidamente para decidir se 2368 é divisível por 7.

Passo 2

Para provar (a), use aritmética modular. Note que
10c+requiv 3c+rpmod7
porque 10equiv3pmod7. Mas
3c+r = 3(c-2r)+6r+r = 3(c-2r)+7r,
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10c+requiv 3(c-2r)pmod7
Como 3 é invertível módulo 7, segue que 10c+requiv0pmod7 se, e somente se, c-2requiv0pmod7. Portanto a é múltiplo de 7 exatamente quando b é múltiplo de 7.

Passo 3

Para (b), escreva o número decimal
n = ar ar-1dots a1a0
como n = 10c + a0, onde c = ar ar-1dots a1. Pelo item (a), 7mid n se, e somente se,
7mid l(c - 2a0r)
Isso é justamente o critério pedido: um número é múltiplo de 7 se, e somente se, o número formado por retirar o último dígito e subtrair duas vezes esse dígito for múltiplo de 7.

Passo 4

Aplicando o critério a 2368:
  1. Separe c=236, a0=8. Calcule 236 - 2cdot8 = 236 -16 = 220.
  2. Agora em 220, temos c=22, a0=0. Calcule 22 - 2cdot0 = 22.
  3. Em 22, temos c=2, a0=2. Calcule 2 - 2cdot2 = 2 -4 = -2.
    Como -2 não é múltiplo de 7, concluímos que nem 22, nem 220, nem 2368 o são.

Resposta

2368 não é múltiplo de 7.

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