14-Se f(x)=x^3-x^2+x, mostre que existe um número c tal que f(c)=10 e determine o intervalo no qual se encontra o valor de c.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-x^2+x
e pede para mostrar que existe c tal que f(c)=10 e determinar o intervalo onde esse c se encontra. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, pois ele garante a existência de raízes de funções contínuas quando seus valores em extremidades trocam de sinal.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R. Definimos
g(x)=f(x)-10
que também é contínua (diferença de funções contínuas).

Passo 3

Calculamos os valores de g em dois pontos:
g(2)=f(2)-10=(2^3-2^2+2)-10=(8-4+2)-10=6-10=-4,
g(3)=f(3)-10=(3^3-3^2+3)-10=(27-9+3)-10=21-10=11
Portanto g(2)=-4<0 e g(3)=11>0.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua e muda de sinal entre x=2 e x=3, existe cin(2,3) tal que
g(c)=0Longrightarrow f(c)=10

Resposta

Existe cin(2,3) tal que f(c)=10.

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