In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=ln x at a=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau dois da função ln x centrado em a=1. O conteúdo necessário é a fórmula geral
T2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2(x-a)^2
que exige calcular f(1), f'(1) e f''(1).

Passo 2

Calculamos f(1) e a primeira derivada. Como f(x)=ln x,
f(1)=ln1=0,
f'(x)=1xLongrightarrow f'(1)=1

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada. Temos
f''(x)=-1x^2Longrightarrow f''(1)=-1

Passo 4

Substituímos na fórmula de Taylor de grau dois:
T2(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2(x-1)^2 =0+1cdot(x-1)+-12(x-1)^2

Resposta

T2(x)= (x-1)-tfrac12(x-1)^2

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