Calcule a integral definida:
I=integral0^pi x cdot sen(x) d x
Escolha uma opção:
  • a. -2
  • b. 2
  • c. pi
  • d. -pi
  • e. pi+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O exercício pede pra calcular:
I = integral0^pi x cdot sin(x) , dx
Esse tipo de integral envolve funções que são multiplicadas, nesse caso, x e sin(x) . Para resolver, vamos precisar usar o método da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv . Geralmente, escolhemos u para ser a função que fica mais simples quando derivamos, e dv para ser o resto que vamos integrar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • u = x    (porque a derivada de x é simples)
  • dv = sin(x) , dx   (o que sobra)
Agora, vamos calcular du e v :
  • Derivando u :
du = dx
  • Integrando dv :
v = integral sin(x) , dx = -cos(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sin(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores:
= x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot dx
Simplificando:
= -x cos(x) + integral cos(x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cos(x) :
integral cos(x) , dx = sin(x) + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Então, nossa expressão fica:
- x cos(x) + sin(x)

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão de 0 a pi :
I = [ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi
Isso significa que precisamos calcular:
(-pi cos(pi) + sin(pi)) - (-0 cos(0) + sin(0))

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  • cos(pi) = -1
  • sin(pi) = 0
  • cos(0) = 1
  • sin(0) = 0
Substituindo:
(-pi cdot (-1) + 0) - (0 cdot 1 + 0) = pi - 0 = pi

Resposta

A integral definida vale pi . Portanto, a opção correta é:
  • c. pi

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