Calcule a integral definida:
Escolha uma opção:
- a. -2
- b. 2
- c.
- d.
- e.
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O exercício pede pra calcular:
Esse tipo de integral envolve funções que são multiplicadas, nesse caso,
e
. Para resolver, vamos precisar usar o método da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
para ser a função que fica mais simples quando derivamos, e
para ser o resto que vamos integrar.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
-
(porque a derivada de é simples) -
(o que sobra)
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
:
Isso significa que precisamos calcular:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
Substituindo:
Resposta
A integral definida vale
. Portanto, a opção correta é:
- c.