Asserção: A fórmula de integração por partes é dada por integral u d v=u cdot v+integral v d u.
Razão: A fórmula de integração por partes é derivada diretamente da regra do produto para derivadas.
Escolha uma opção:
  • a. Asserção verdadeira, Razāo falsa.
  • b. Asserção verdadeira, Razāo verdadeira, e Razāo nāo é uma explicaçāo correta da Asserção.
  • c. Asserção falsa, Razāo verdadeira.
  • d. Asserçāo falsa, Razāo falsa.
  • e. Asserçāo verdadeira, Razāo verdadeira, e Razāo é uma explicação correta da Asserção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que fala sobre a integração por partes, que é uma técnica de cálculo usada para resolver integrais que são produtos de funções. A questão apresenta duas afirmações: uma sobre a fórmula de integração por partes e outra sobre como essa fórmula foi derivada. Nosso objetivo é analisar se cada afirmação é verdadeira ou falsa e ver como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a Asserção, que diz:
integral u , dv = u cdot v + integral v , du
Essa é a fórmula apresentada para a integração por partes. Mas calma aí, você lembra qual é a fórmula correta? A fórmula tradicionalmente ensinada é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Notou a diferença? A asserção colocou um sinal de mais em vez de um sinal de menos. Isso muda tudo! Então, a asserção está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos para a Razão, que afirma:
A fórmula de integração por partes é derivada diretamente da regra do produto para derivadas.
Essa é uma afirmação que está no caminho certo. A regra do produto para derivadas diz que:
ddx(u cdot v) = u cdot dvdx + v cdot dudx
Para chegar à fórmula da integração por partes, a gente integra ambos os lados dessa equação:
integral ddx(u cdot v) , dx = integral u , dv + integral v , du
Sabemos que a integral da derivada de uma função é a própria função, então:
u cdot v = integral u , dv + integral v , du
Reorganizando para isolar integral u , dv:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Viu só? A fórmula de integração por partes realmente vem da regra do produto para derivadas. Portanto, a razão está correta.

Resposta

A opção correta é:
c. Asserção falsa, Razão verdadeira.

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