17-Mostre que o teorema do valor intermediário garante que a equação x^3+x+3=0 tenha raiz no intervalo ( -2,-1 ).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a equação
x^3+x+3=0
possui solução em (-2,-1). O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^3+x+3
Como f é um polinômio, ela é contínua em toda reta, e em particular em [-2,-1].

Passo 3

Agora avaliamos f nas extremidades do intervalo:
f(-2)=(-2)^3+(-2)+3=-8-2+3=-7,
f(-1)=(-1)^3+(-1)+3=-1-1+3=1

Passo 4

Observamos que
f(-2)=-7<0 e f(-1)=1>0,
portanto f(-2),f(-1)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um cin(-2,-1) tal que
f(c)=0

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação x^3+x+3=0 tem pelo menos uma raiz em (-2,-1).

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