1.14 Uma partícula se movendo ao longo da curva r(t) tem a propriedade que r^prime prime(t)= (2,0,-cos (2 t)). Sabemos que r(0)=(1,2,1) e r^prime(0)=(2,0,0). Calcule a curva r(t).
Solução: Como r^prime prime(t)=(2,0,-cos (2 t)), então
r^prime(t) & =integral r^prime prime(t) d t & =(integral 2 d t, integral 0 d t, integral(-cos (2 t)) d t) & =(2 t, 0,-12 sen(2 t))+(c1, c2, c3)
em que r^prime(0)=(2,0,0) é um vetor constante. Resolvendo a equação r^prime(t)=(2+2 t, 0,-12 sen(2 t)) , obtemos r(t) & =integral r^prime(t) d t & =(integral(2 t+2) d t, integral 0 d t, integral(-12 sen(2 t)) d t) & =(t^2+2 t, 0, 14 cos (2 t))+(x0, y0, z0) . Logo
r(0)=(1,2,1)
Integrando novamente obtemos
r(t)=(t^2+2 t+1,2, 14 cos (2 t)+34)
sendo , também, um vetor constante. Resolvendo a equação , encontramos .
Portanto as curvas de nível são parábolas cúbicas

Passo 1

Nesse exercício, temos a aceleração da partícula dada por r''(t)=(2,0,-cos(2t)) e as condições iniciais r(0)=(1,2,1) e r'(0)=(2,0,0). Vamos usar integrais de vetor para encontrar r(t), determinando as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Integramos r''(t) para obter r'(t):
r'(t)=integral (2,0,-cos(2t)),dt = l(integral 2,dt,integral 0,dt,integral -cos(2t),dtr) = l(2t,0,-tfrac12sin(2t)r)+(C1,C2,C3)

Passo 3

Usamos r'(0)=(2,0,0) para achar (C1,C2,C3). Substituindo t=0 em r'(t) (C1,C2,C3)=(2,0,0). Logo
r'(t)=(2t+2,0,-tfrac12sin(2t))

Passo 4

Agora integramos r'(t) para obter r(t):
r(t)=integral (2t+2,0,-tfrac12sin(2t)),dt = l(integral(2t+2),dt,integral0,dt,integral -tfrac12sin(2t),dtr) = l(t^2+2t,0,tfrac14cos(2t)r)+(D1,D2,D3)

Passo 5

Aplicamos r(0)=(1,2,1). Em t=0 temos (D1,D2,tfrac14+D3)=(1,2,1), logo D1=1, D2=2 e D3=3/4.

Resposta

A curva pedida é r(t)=l(t^2+2t+1,;2,;tfrac14cos(2t)+tfrac34r).

Exercícios relacionados