Solução: Vamos verificar que os limites de cada coordenada existem, então o limite acima existe e é igual a
No limite da primeira coordenada, usamos a regra de L’Hospital, assim
Na segunda coordenada, já sabemos que
E na terceira coordenada, temos
lim t 0 (t+1)^2-1(t+1)^2-3(t+1)+2=lim t 0 t(t+2)t(t-1)=lim t 0 t+2t-1=-2
Portanto,
lim t 0(1-cos tt^2, e^t-1t, (t+1)^2-1(t+1)^2-3(t+1)+2)=(12, 1,-2)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite vetorial limtto0l(tfrac1-cos tt^2,,tfrace^t-1t,,tfrac(t+1)^2-1(t+1)^2-3(t+1)+2r). Vamos tratar cada coordenada separadamente usando limite de funções, regra de L’Hospital e fatoração.
Passo 2
Para a primeira coordenada, temos o indeterminado 0/0. Aplicamos a regra de L’Hospital:
limtto01-cos tt^2=limtto0sin t2t
Passo 3
Como limtto0tfracsin tt=1, segue
limtto0sin t2t=12
Passo 4
Para a segunda coordenada, reconhecemos o limite fundamental da exponencial:
limtto0e^t-1t=ddte^t|t=0=e^0=1
Passo 5
Na terceira coordenada, primeiro fatoramos numerador e denominador:
(t+1)^2-1=t^2+2t+1-1=t(t+2),
(t+1)^2-3(t+1)+2=t^2+2t+1-3t-3+2=t(t-1)
Passo 6
Assim o quociente fica
t(t+2)t(t-1)=t+2t-1
Passo 7
Tomando tto0 obtemos
limtto0t+2t-1=2-1=-2
Passo 8
Portanto o limite vetorial existe e é dado pelas três coordenadas calculadas.