1. Seja um campo escalar phi(x, y, z)=r^n, onde r=raizx^2+y^2+z^2. Mostre que phi é o potencial do seguinte campo vetorial F=n r^n-2 r, onde r=x i+y j+z k. Para qual valor de n este campo vetorial representa a força gravitacional?

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar phi(x,y,z)=r^n, com r=raizx^2+y^2+z^2, e pede para mostrar que ele é potencial do campo vetorial vec F = n,r^n-2,vec r. O conteúdo aqui é campos conservativos e potencial escalar, e vamos precisar usar a definição de gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

O gradiente de um escalar phi(x,y,z) é definido por nablaphi=l(partialphi/partial x,partialphi/partial y,partialphi/partial zr). Se mostrarmos que nablaphi=vec F, então phi é potencial de vec F.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de phi=r^n. Como r=raizx^2+y^2+z^2, temos
[\frac{\partial\phi}{\partial x}=n,r^{n-1}\frac{\partial r}{\partial x}=n,r{n-1}\frac{x}{r}=n,x,r{n-2},]
e, de modo análogo,
[\frac{\partial\phi}{\partial y}=n,y,r^{n-2},\quad\frac{\partial\phi}{\partial z}=n,z,r^{n-2}.]

Passo 4

Montando o vetor gradiente,
[\nabla\phi=\bigl(n,x,r{n-2},,n,y,r{n-2},,n,z,r{n-2}\bigr)=n,r{n-2},(x,y,z)=n,r^{n-2},\vec r,]
logo nablaphi=vec F, ou seja, phi é realmente o potencial de vec F.

Passo 5

Para que vec F represente a força gravitacional, seu módulo deve variar como 1/r^2 e ser atraente (sinal negativo). Como vec F=n,r^n-2,vec r=n,r^n-1,hat r, igualando o expoente ao caso gravitacional ( r^-2) obtemos n-1=-2, isto é, n=-1.

Resposta

n = -1

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