- Seja um campo escalar
, onde
. Mostre que
é o potencial do seguinte campo vetorial
, onde
. Para qual valor de
este campo vetorial representa a força gravitacional?
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
, com
, e pede para mostrar que ele é potencial do campo vetorial
. O conteúdo aqui é campos conservativos e potencial escalar, e vamos precisar usar a definição de gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
O gradiente de um escalar
é definido por
. Se mostrarmos que
, então
é potencial de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Como
, temos
[\frac{\partial\phi}{\partial x}=n,r^{n-1}\frac{\partial r}{\partial x}=n,r{n-1}\frac{x}{r}=n,x,r{n-2},]
e, de modo análogo,
[\frac{\partial\phi}{\partial y}=n,y,r^{n-2},\quad\frac{\partial\phi}{\partial z}=n,z,r^{n-2}.]
[\frac{\partial\phi}{\partial x}=n,r^{n-1}\frac{\partial r}{\partial x}=n,r{n-1}\frac{x}{r}=n,x,r{n-2},]
e, de modo análogo,
[\frac{\partial\phi}{\partial y}=n,y,r^{n-2},\quad\frac{\partial\phi}{\partial z}=n,z,r^{n-2}.]
Passo 4
Montando o vetor gradiente,
[\nabla\phi=\bigl(n,x,r{n-2},,n,y,r{n-2},,n,z,r{n-2}\bigr)=n,r{n-2},(x,y,z)=n,r^{n-2},\vec r,]
logo , ou seja,
é realmente o potencial de
.
[\nabla\phi=\bigl(n,x,r{n-2},,n,y,r{n-2},,n,z,r{n-2}\bigr)=n,r{n-2},(x,y,z)=n,r^{n-2},\vec r,]
logo
Passo 5
Para que
represente a força gravitacional, seu módulo deve variar como
e ser atraente (sinal negativo). Como
, igualando o expoente ao caso gravitacional (
) obtemos
, isto é,
.
Resposta
n = -1