Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de mathrmx0
raizx em torno de 4

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 para f(x)=raizx em torno de x0=4. O assunto aqui é expansão em série de Taylor: precisamos calcular derivadas de f até a quinta ordem, avaliá-las em x0 e montar o polinômio.

Passo 2

Para começar, usamos a regra de potência. Como f(x)=x^1/2, temos as derivadas:
f(x)=x^1/2
f'(x)=12x^-1/2
f''(x)=-14x^-3/2
f^(3)(x)=38x^-5/2
f^(4)(x)=-1516x^-7/2
f^(5)(x)=10532x^-9/2

Passo 3

Agora a gente avalia cada derivada em x0=4. Lembrando que 4^1/2=2 e 4^k/2=2^k, obtemos:
f(4)=2
f'(4)=14
f''(4)=-132
f^(3)(4)=3256
f^(4)(4)=-152048
f^(5)(4)=10516384

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de x0:
T5(x) = sumk=0^5 f^(k)(4)k!(x-4)^k
Substituindo cada derivada, fica:
T5(x)=2 + 1/41!(x-4) + -1/322!(x-4)^2 + 3/2563!(x-4)^3 + -15/20484!(x-4)^4 + 105/163845!(x-4)^5

Passo 5

Para terminar, simplificamos cada coeficiente usando os valores de k!:
-1/322!=-164, 3/2563!=1512, -15/20484!=-516384 e 105/163845!=7131072. Assim, chegamos ao polinômio de Taylor simplificado.

Resposta

T5(x) = 2 + 14(x-4) - 164(x-4)^2 + 1512(x-4)^3 - 516384(x-4)^4 + 7131072(x-4)^5

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