Qual o trabalho realizado pela força F= x^2 i+y^2 j nos seguintes caminhos:
Do ponto (0,-1) ao ponto (0,1), ligados por um círculo, no sentido antihorário.

Passo 1

Temos um campo vetorial vec F(x,y)=x^2,hat i+y^2,hat j e queremos calcular o trabalho ao longo de um arco de círculo que liga (0,-1) a (0,1) no sentido anti-horário. O tema é integral de linha de campos vetoriais e vamos verificar se o campo é conservativo para usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para checar se vec F é conservativo, comparamos as derivadas parciais: P(x,y)=x^2 e Q(x,y)=y^2. Calculamos partial P/partial y=0 e partial Q/partial x=0. Como são iguais em toda a região (que é simplesmente conexa), vec F é conservativo.

Passo 3

Como vec F é conservativo, existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Integrando P=x^2 em relação a x obtemos
phi(x,y)=integral x^2,dx=x^33+g(y)
Para encontrar g(y), usamos partialphi/partial y=y^2, o que dá g'(y)=y^2 e portanto g(y)=y^33. Assim
phi(x,y)=x^33+y^33

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha, o trabalho é
W=phi(0,1)-phi(0,-1)=l(0+1^33r)-l(0+(-1)^33r)=13-l(-13r)=23

Resposta

W=tfrac23.

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