Qual o trabalho realizado pela força
nos seguintes caminhos:
Do ponto
ao ponto
, ligados por um círculo, no sentido antihorário.
Do ponto
Passo 1
Temos um campo vetorial
e queremos calcular o trabalho ao longo de um arco de círculo que liga
a
no sentido anti-horário. O tema é integral de linha de campos vetoriais e vamos verificar se o campo é conservativo para usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Para checar se
é conservativo, comparamos as derivadas parciais:
e
. Calculamos
e
. Como são iguais em toda a região (que é simplesmente conexa),
é conservativo.
Passo 3
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. Integrando
em relação a
obtemos
Para encontrar
, usamos
, o que dá
e portanto
. Assim
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha, o trabalho é