(15) Um anel de raio R está uniformemente carregado com carga total Q>0. Desenhe as linhas de campo elétrico no plano do anel e ao longo do eixo perpendicular que passa por seu centro. Discuta o comportamento do campo no centro do anel e em pontos distantes.

Passo 1

O enunciado descreve um anel de raio R com carga total uniforme Q>0. Queremos esquematizar as linhas de campo elétrico (linhas de \mathbf{E}) no plano do anel e num plano que contenha o eixo perpendicular que passa pelo centro. O conteúdo usado será a lei de Coulomb, simetria do problema e a expressão do campo no eixo de um anel carregado.

Passo 2

Análise qualitativa no plano do anel (plano horizontal):
  1. No centro r=0 todas as contribuições de elementos de carga se cancelam por simetria circular, logo
\mathbf{E}(r=0)=\mathbf{0}.
  1. Num ponto do plano a uma distância radial r<R, o segmento mais próximo do anel repele com maior intensidade do que o oposto, produzindo um campo resultante apontando para o centro (radialmente “para dentro”).
  2. Num ponto do plano com r>R prevalece o repulso das cargas mais próximas no anel e o vetor campo apunta para fora (radialmente “para fora”).
  3. Desenhando as linhas de campo: de cada ponto do anel saem linhas que, no interior, curvam-se para o centro e depois sobem para fora do plano; no exterior, saem radialmente para longe e também se elevam para o infinito.

Passo 3

Expressão do campo ao longo do eixo perpendicular (eixo z passando pelo centro):
Pelo resultado padrão, para um anel de carga total Q e raio R, no ponto de coordenada z no eixo temos
E_z(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{\bigl(z^2+R^2\bigr)^{3/2}}.
  • Para z>0, E_z>0, isto é, o campo aponta no sentido positivo de z (para cima).
  • Para z<0, E_z<0, aponta para baixo.
  • Em z=0 recuperamos E_z(0)=0, coerente com o resultado no centro.

Passo 4

Comportamento em limites:
  1. Perto do centro no eixo |z|\ll R, faz-se a expansão \bigl(z^2+R^2\bigr)^{-3/2}\approx R^{-3}, logo
E_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{R^3}\quad(\text{pequeno e quase linear em }z).
  1. No eixo, existe um máximo de |E_z| em |z|=R/\sqrt2.
  2. Para |z|\gg R, obtemos
E_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2},
como se fosse uma carga pontual Q no centro.
4. De modo análogo, no plano do anel para r\gg R o campo varia como \sim Q/(4\pi\varepsilon_0\,r^2), radial para fora.

Resposta

As linhas de campo elétrico são simetricamente geradas pelo anel positivo:
(a) No plano do anel, saem de cada ponto do anel linhas que, internamente, dirigem-se radialmente para o centro (onde E=0) antes de curvar-se para fora do plano, e externamente saem radialmente para o infinito.
(b) Num corte que contém o eixo perpendicular, as linhas saem do anel ao longo do eixo nos dois sentidos +z e -z, começando com intensidade zero em z=0, atingindo pico em |z|=R/\sqrt2 e, para |z|\gg R, comportam-se como as de uma carga pontual Q.

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