Verifique se as seguintes funções são contínuas: f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 1 & \text { se } & x>1\end{array}\right.
é contínua. Informação dada: a função é definida por dois ramos (uma reta 2x para x\leq 1 e uma constante 1 para x>1). A pergunta implícita é: para quais pontos x\in\mathbb{R} a função f é contínua? Devemos analisar todos os pontos do domínio, em especial o ponto de junção x=1.]
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (aula curta e prática): dizemos que f é contínua em um ponto a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso exige que o limite exista (portanto as duas limites laterais existam e sejam iguais) e que esse valor seja igual ao valor da função em a. Uma forma prática para funções por partes: verificar continuidade separadamente em três tipos de pontos — pontos estritamente à esquerda da junção, pontos estritamente à direita da junção, e o ponto da junção (x=1 aqui).
Passo 3
Continuidade para pontos com x<1 (ou seja, estritamente à esquerda da junção). Aqui usamos o ramo f(x)=2x. Vou mostrar duas razões simples por que 2x é contínua em qualquer ponto a:
Intuitiva: funções polinomiais/lineares são contínuas em todo lugar.
Com argumento direto: seja a<1. Para f(x)=2x,
|f(x)-f(a)|=|2x-2a|=2|x-a|.
Se queremos que |f(x)-f(a)|<\varepsilon, basta garantir 2|x-a|<\varepsilon, i.e., tomar
Além disso, para manter-nos no ramo 2x é suficiente escolher \delta\leq 1-a (assim o intervalo (a-\delta,a+\delta) fica inteiramente à esquerda de 1). Concluímos: para qualquer a<1 existe \delta>0 tal que x perto de a implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Logo f é contínua em todo a<1.
Passo 4
Continuidade para pontos com x>1 (ou seja, estritamente à direita da junção). Aqui usamos o ramo constante f(x)=1. Para qualquer ponto a>1 temos f(a)=1 e, para qualquer x próximo,
|f(x)-f(a)|=|1-1|=0<\varepsilon
para todo \varepsilon>0. Novamente precisamos garantir que x permaneça no ramo x>1; basta escolher \delta\leq a-1. Assim f é continuamente constante em todo a>1.
Passo 5
Análise no ponto de junção x=1. Aqui é onde pode ocorrer problema. Primeiro calculemos os limites laterais e o valor da função:
Valor da função em 1: como 1\leq 1, usamos o primeiro ramo, então
f(1)=2\cdot 1=2.
Limite pela esquerda (x\to 1^-): aproximando por valores menores que 1 usamos f(x)=2x, então
Limite pela direita (x\to 1^+): aproximando por valores maiores que 1 usamos f(x)=1, então
\lim_{x\to 1^+} f(x)=1.
Comparando: a limite pela esquerda é 2, a limite pela direita é 1. Como as duas limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Pela definição de continuidade, não podemos ter \lim_{x\to 1} f(x)=f(1). Portanto f é descontínua em x=1. Esse tipo de descontinuidade em que as duas laterais são diferentes chama-se descontinuidade de salto (ou salto finito).
Passo 6
Resumo didático e intuitivo (para a prova): em todo ponto longe de 1 você fica em um único ramo que é contínuo (reta ou constante), então não há problema. No ponto 1 os dois ramos dão valores diferentes ao se aproximar por esquerda e por direita (2 e 1), logo a função tem um salto em 1 e é descontínua aí. Se quiser, na prova escreva exatamente os cálculos dos limites laterais como fiz no Passo 5 — isso basta para justificar a descontinuidade.
Resposta
A função é contínua para todo x\neq 1 e é descontínua em x=1.