Uma cultura aeróbica de bactérias em metanol apresentou os seguintes resultados para um processo em batelada:
Tempo (h) 0 2 4 8 10 12 14 16 18
\mathbf{X}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 0,200 0,211 0,305 0,980 1,770 3,200 5,600 6,150 6,200
\mathbf{S}(\mathbf{g} / \mathbf{L}) 9,230 9,210 9,070 8,030 6,800 4,600 0,920 0,077 0
Calcule:
O tempo de duplicação das células;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o tempo de duplicação das células (ou seja, o tempo que a biomassa leva para dobrar durante o crescimento exponencial).\n
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):\n
Tempo (h): 0,\;2,\;4,\;8,\;10,\;12,\;14,\;16,\;18\n
Biomassa X (g/L): 0,200,\;0,211,\;0,305,\;0,980,\;1,770,\;3,200,\;5,600,\;6,150,\;6,200\n
Substrato S (g/L): 9,230,\;9,210,\;9,070,\;8,030,\;6,800,\;4,600,\;0,920,\;0,077,\;0\n

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar:\n
Durante a fase exponencial de crescimento celular, a biomassa cresce segundo\n
X(t)=X_0 e^{\mu t},\n
onde \mu é a taxa específica de crescimento (unidade: h^{-1}), X(t) é a biomassa no tempo t e X_0 é a biomassa no tempo inicial escolhido.\n
A partir de duas medidas de biomassa X_1 em t_1 e X_2 em t_2 podemos estimar \mu por\n
\mu=\frac{\ln(X_2)-\ln(X_1)}{t_2-t_1}.\n
O tempo de duplicação (doubling time) t_d está relacionado com \mu por\n
t_d=\frac{\ln 2}{\mu},\n
onde \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (aproximadamente 0,693147).\n
Explicando em palavras: primeiro identificamos a fase em que \ln X cresce linearmente com t (fase exponencial), estimamos a inclinação \mu dessa reta e depois calculamos t_d.\n

Passo 3

Escolha da fase exponencial (por que escolhi):\n
Olhei para os valores de X e para S. Entre t=4 h e t=12 h os valores de X crescem rapidamente de 0,305 para 3,200 g/L e o substrato S ainda é significativo ( S=9,070 em 4 h e S=4,600 em 12 h), ou seja, não está totalmente limitante. Depois de t\approx14 h o substrato fica muito baixo ( S=0,920 em 14 h) e o crescimento desacelera (veja X quase estabilizando entre 14 e 18 h). Portanto a região t=4 h a t=12 h é uma boa escolha para estimar \mu (fase exponencial).\n

Passo 4

Cálculo de \mu usando os pontos t_1=4 h e t_2=12 h (método simples e robusto):\n
Valores usados (peguei da tabela): X_1=X(4\\ \text{h})=0,305 g/L e X_2=X(12\\ \text{h})=3,200 g/L.\n
Calculemos os logaritmos naturais:\n
\ln(X_1)=\ln(0,305)\approx -1,187443,\n
\ln(X_2)=\ln(3,200)\approx 1,163151.\n
Diferença de logaritmos e taxa específica:\n
\ln(X_2)-\ln(X_1)=1,163151-(-1,187443)=2,350594,\n
\mu=\frac{2,350594}{12-4}=\frac{2,350594}{8}\approx 0,293824\\ \text{h}^{-1}.\n
Interpretação: \mu\approx 0,2938\\ \text{h}^{-1} é a inclinação média de \ln X entre 4 e 12 h, consistente com os crescimentos rápidos observados nesses instantes.\n

Passo 5

Verificação rápida (opcional mas útil): calcular \mu por intervalos pequenos dentro da fase exponencial para ver consistência:\n
Entre 4 e 8 h: \mu_{4-8}=\dfrac{\ln(0,980)-\ln(0,305)}{4}\approx\dfrac{-0,020203-(-1,187443)}{4}\approx0,2918\\ \text{h}^{-1}.\n
Entre 8 e 10 h: \mu_{8-10}=\dfrac{\ln(1,770)-\ln(0,980)}{2}\approx0,2956\\ \text{h}^{-1}.\n
Entre 10 e 12 h: \mu_{10-12}\approx0,2961\\ \text{h}^{-1}.\n
Esses valores são muito próximos de 0,2938\\ \text{h}^{-1}, confirmando que usar 4 12 h é apropriado.\n

Passo 6

Cálculo final do tempo de duplicação t_d:\n
Usando \ln 2\approx 0,693147 e \mu\approx 0,293824\\ \text{h}^{-1},\n
t_d=\frac{\ln 2}{\mu}=\frac{0,693147}{0,293824}\approx 2,359\\ \text{h}.\n
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais (próprio para prova): t_d\approx 2,36\\ \text{h}.\n

Resposta

t_d \approx 2,36\\ \text{h}

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