ok 18. Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=25, pelo plano x+y+z=8 e pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
x^{2}+y^{2}=25,
pelo plano
x+y+z=8
e pelo plano xy (ou seja, z=0).
Conteúdo: cálculo de volume via integral dupla sobre a projeção no plano xy.

Passo 2

Projeção R do sólido no plano xy é o disco
R=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le25\bigr\}.
Para cada (x,y)\in R, a altura do sólido vale de z=0 até
z=8 - x - y,
pois x+y+z=8. Precisamos verificar que 8 - x - y\ge0 em todo R. No disco, o máximo de x+y ocorre em x=y=5/\sqrt2, dando x+y=5\sqrt2\approx7,07<8. Logo z\ge0 em todo R.

Passo 3

Escrevendo volume como integral dupla:
V=\iint_{R}\bigl(8 - x - y\bigr)\,dA.
Pela linearidade,
V =8\iint_{R}1\,dA -\iint_{R}x\,dA -\iint_{R}y\,dA.
Por simetria de R (um disco centrado na origem), vale
\iint_{R}x\,dA =0, \quad \iint_{R}y\,dA =0.
Assim sobra
V =8\cdot\bigl(\text{área de }R\bigr) =8\cdot\pi\cdot5^{2} =200\pi.á

Resposta

200\pi

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