[14] Resolver o PVI:
pelo método de Euler e pelo método de Rubge-Kutta ordem 2.
Passo 1
O problema pede para aproximar a solução do PVI
em
com passo
, usando o método de Euler explícito e o método de Runge–Kutta de ordem 2. Vamos converter o PVI num sistema de primeira ordem e depois aplicar cada método.
Passo 2
Definimos
de modo que o sistema equivalente seja
com condição inicial
.
Para o método de Euler explícito usamos
Para o método de Euler explícito usamos
onde
.
Para o método de Runge–Kutta de ordem 2 (ponto médio) usamos
Para o método de Runge–Kutta de ordem 2 (ponto médio) usamos
Passo 3
Aplicando Euler do nó
a
:
em ,
.
Calculo
em
Calculo
Logo
Passo 4
Euler de
a
:
em ,
.
Calculo
em
Calculo
Logo
Passo 5
Euler de
a
:
em ,
.
Calculo , então
em
Calculo
Logo
Passo 6
Runge–Kutta 2 do nó
a
:
em ,
.
em
Calculo em
:
,
Então
Passo 7
Runge–Kutta 2 de
a
:
em ,
.
em
Em
,
,
Passo 8
Runge–Kutta 2 de
a
:
em ,
.
em
Em
,
,
Resposta
Aproximações nos nós
:
Método de Euler explícito:
Método de Runge–Kutta de ordem 2: