[14] Resolver o PVI: y^{\prime \prime}=y \operatorname{sen}(y)+x y, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2 \operatorname{para} x \in[0,1.5] \operatorname{com} h=0.5 pelo método de Euler e pelo método de Rubge-Kutta ordem 2.

Passo 1

O problema pede para aproximar a solução do PVI
y'' = y\,\sin(y) + x\,y,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2
em [0,1{,}5] com passo h=0{,}5, usando o método de Euler explícito e o método de Runge–Kutta de ordem 2. Vamos converter o PVI num sistema de primeira ordem e depois aplicar cada método.

Passo 2

Definimos
y_1 = y,\quad y_2 = y',
de modo que o sistema equivalente seja
\begin{cases} y_1' = y_2,\\\ y_2' = y_1\sin(y_1) + x\,y_1, \end{cases}
com condição inicial (y_1(0),y_2(0)) = (1,2).
Para o método de Euler explícito usamos
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y) = \bigl(y_2,\;y_1\sin(y_1)+x\,y_1\bigr).
Para o método de Runge–Kutta de ordem 2 (ponto médio) usamos
\begin{aligned} k_1 &= f(x_n,y_n),\\\ y_{n+\tfrac12} &= y_n + \tfrac h2\,k_1,\\\ k_2 &= f\bigl(x_n + \tfrac h2,\;y_{n+\tfrac12}\bigr),\\\ y_{n+1} &= y_n + h\,k_2. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando Euler do nó x_0=0 a x_1=0{,}5:
em x_0, y^{(0)}=(y_{1,0},y_{2,0})=(1,2).
Calculo
f(x_0,y^{(0)}) = (2,\;1\cdot\sin(1)+0\cdot1) = (2,\;0{,}84147).
Logo
y^{(1)} = \bigl(y_{1,0},y_{2,0}\bigr) + 0{,}5\,(2,\,0{,}84147) = (2{,}0000,\;2{,}4207).

Passo 4

Euler de x_1=0{,}5 a x_2=1{,}0:
em x_1, y^{(1)}=(2{,}0000,\,2{,}4207).
Calculo
f(x_1,y^{(1)}) = \bigl(2{,}4207,\;2\,\sin(2)+0{,}5\cdot2\bigr) \approx (2{,}4207,\;2{,}8186).
Logo
y^{(2)} = (2{,}0000,2{,}4207) + 0{,}5\,(2{,}4207,2{,}8186) = (3{,}2104,\;3{,}8300).

Passo 5

Euler de x_2=1{,}0 a x_3=1{,}5:
em x_2, y^{(2)}=(3{,}2104,\,3{,}8300).
Calculo \sin(3{,}2104)\approx -0{,}06873, então
f(x_2,y^{(2)}) = \bigl(3{,}8300,\;3{,}2104(-0{,}06873)+1\cdot3{,}2104\bigr) \approx (3{,}8300,\;2{,}9898).
Logo
y^{(3)} = (3{,}2104,3{,}8300) + 0{,}5\,(3{,}8300,2{,}9898) = (5{,}1254,\;5{,}3249).

Passo 6

Runge–Kutta 2 do nó x_0=0 a x_1=0{,}5:
em x_0, y^{(0)}=(1,2).
k_1 = (2,\;0{,}84147),\quad y_{\!mid} = (1,2) + 0{,}25\,(2,0{,}84147) = (1{,}5000,2{,}2104).
Calculo em x=0{,}25: \sin(1{,}5)\approx0{,}99750,
k_2 = \bigl(2{,}2104,\;1{,}5\cdot0{,}99750 +0{,}25\cdot1{,}5\bigr) \approx (2{,}2104,\;1{,}8712).
Então
y^{(1)} = (1,2) + 0{,}5\,(2{,}2104,1{,}8712) = (2{,}1052,\;2{,}9356).

Passo 7

Runge–Kutta 2 de x_1=0{,}5 a x_2=1{,}0:
em x_1, y^{(1)}=(2{,}1052,2{,}9356).
k_1 = (2{,}9356,\;2{,}8642),\quad y_{\!mid} = (2{,}1052,2{,}9356) +0{,}25\,(2{,}9356,2{,}8642) \approx (2{,}8391,3{,}6517).
Em x=0{,}75, \sin(2{,}8391)\approx0{,}298,
k_2 = (3{,}6517,\;2{,}9758),
y^{(2)} = (2{,}1052,2{,}9356) +0{,}5\,(3{,}6517,2{,}9758) = (3{,}9310,\;4{,}4235).

Passo 8

Runge–Kutta 2 de x_2=1{,}0 a x_3=1{,}5:
em x_2, y^{(2)}=(3{,}9310,4{,}4235).
k_1 = (4{,}4235,\;1{,}1450),\quad y_{\!mid} = (3{,}9310,4{,}4235) +0{,}25\,(4{,}4235,1{,}1450) \approx (5{,}0369,4{,}7098).
Em x=1{,}25, \sin(5{,}0369)\approx -0{,}9489,
k_2 = (4{,}7098,\;1{,}5171),
y^{(3)} = (3{,}9310,4{,}4235) +0{,}5\,(4{,}7098,1{,}5171) = (6{,}2859,\;5{,}1821).

Resposta

Aproximações nos nós x=0,0{,}5,1{,}0,1{,}5:
Método de Euler explícito:
\begin{aligned} x=0{,}5:\;&(y,y')=(2{,}0000,\;2{,}4207),\\\ x=1{,}0:\;&(y,y')=(3{,}2104,\;3{,}8300),\\\ x=1{,}5:\;&(y,y')=(5{,}1254,\;5{,}3249). \end{aligned}
Método de Runge–Kutta de ordem 2:
\begin{aligned} x=0{,}5:\;&(y,y')=(2{,}1052,\;2{,}9356),\\\ x=1{,}0:\;&(y,y')=(3{,}9310,\;4{,}4235),\\\ x=1{,}5:\;&(y,y')=(6{,}2859,\;5{,}1821). \end{aligned}

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