(UF-RN) Uma prova de Matemática contém trinta questōes, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão tem quatro opçōes de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção em cada uma das questōes difíceis, é correto afirmar que:
a) a probabilidade de errar as questōes dificeis é maior que a probabilidade de acertar pelo menos uma questāo difícil.
b) a probabilidade de errar as questōes dificeis é maior que \frac{1}{2}.
c) a probabilidade de errar as questōes dificeis é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma questāo difícil.
d) a probabilidade de errar as questões dificeis está entre \frac{2}{5} e \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado diz que há quatro questões difíceis e, em cada uma, quem chuta aleatoriamente tem probabilidade de acerto de \tfrac{1}{4} e de erro de \tfrac{3}{4}. Precisamos calcular a probabilidade de errar todas as quatro questões difíceis e a probabilidade de acertar pelo menos uma, para então comparar esses valores.

Passo 2

A probabilidade de errar todas as quatro questões, por independência, é o produto das probabilidades de erro em cada uma:
P(\text{errar todas}) = \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^4 = \tfrac{81}{256} \approx 0,3164.

Passo 3

A probabilidade de acertar pelo menos uma é o complemento de errar todas:
P(\text{acertar ao menos uma}) = 1 - P(\text{errar todas}) = 1 - \tfrac{81}{256} = \tfrac{175}{256} \approx 0,6836.

Passo 4

Comparando, vemos que
P(\text{errar todas}) \approx 0,3164 \quad\text{é menor que}\quad P(\text{acertar ao menos uma}) \approx 0,6836.é
Logo, a afirmação correta é que a probabilidade de errar as questões difíceis é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma.

Resposta

c) a probabilidade de errar as questões difíceis é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil.

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