Calcule f(x), pela definição.
f(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=\frac{1}{x^2} usando a definição de derivada, ou seja, o limite do quociente incremental.

Passo 2

A definição de derivada de f em x é
f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Primeiro, calculamos o numerador do quociente:
f(x+h)-f(x) = \frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2\,(x+h)^2} = \frac{-2xh - h^2}{x^2\,(x+h)^2}.

Passo 4

Agora formamos o quociente incremental e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{-2xh - h^2}{h\,x^2\,(x+h)^2} = -\,\frac{2x + h}{x^2\,(x+h)^2}.
Aplicando o limite h\to0:
f'(x) = \lim_{h\to0}\Bigl(-\,\frac{2x + h}{x^2\,(x+h)^2}\Bigr) = -\,\frac{2x}{x^2\cdot x^2} = -\,\frac{2}{x^3}.

Resposta

f'(x) = -\frac{2}{x^3}.

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