Calcule f(x), pela definição.
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada de f(x)=x^3 pela definição de derivada. Vamos usar a fórmula do quociente incremental.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Calculamos f(x+h). Como f(t)=t^3, temos
f(x+h)=(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3.
Logo,
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\bigr)-x^3 =3x^2h+3xh^2+h^3.

Passo 4

Substituímos no quociente incremental e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} =3x^2+3xh+h^2.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(3x^2+3xh+h^2\bigr)=3x^2.

Resposta

f'(x)=3x^2

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