15 Mostre que se A e B são matrizes unitárias de mesma ordem então A B e B A são unitárias.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas matrizes unitárias
A e B de mesma ordem e pede para mostrar que seus produtos AB e BA são também unitários. O conteúdo aqui é teoria de matrizes unitárias e vamos precisar usar a definição de matriz unitária e a propriedade do adjunto de um produto.

Passo 2

Primeiro, recordando a teoria: uma matriz M é unitária se satisfaz
M^* M = M M^* = I
onde M^* é o adjunto (conjugada transposta) de M e I é a matriz identidade.

Passo 3

Também precisamos da propriedade geral do adjunto de um produto: se X e Y são matrizes compatíveis, então
(XY)^* = Y^* X^*

Passo 4

Agora, para mostrar que AB é unitária, calculamos
(AB)(AB)^* = A B B^* A^* = A I A^* = A A^* = I
e
(AB)^*(AB) = B^* A^* A B = B^* I B = B^* B = I
Como ambos os produtos dão a identidade, AB é unitária.

Passo 5

Para BA é exatamente a mesma ideia: usando (BA)^* = A^* B^*, obtemos
(BA)(BA)^* = B A A^* B^* = B I B^* = B B^* = I
e
(BA)^*(BA) = A^* B^* B A = A^* I A = A^* A = I
Logo BA também é unitária.

Resposta

As matrizes AB e BA são unitárias.

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