15 Mostre que se
e
são matrizes unitárias de mesma ordem então
e
são unitárias.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas matrizes unitárias
A e B de mesma ordem e pede para mostrar que seus produtos AB e BA são também unitários. O conteúdo aqui é teoria de matrizes unitárias e vamos precisar usar a definição de matriz unitária e a propriedade do adjunto de um produto.
A e B de mesma ordem e pede para mostrar que seus produtos AB e BA são também unitários. O conteúdo aqui é teoria de matrizes unitárias e vamos precisar usar a definição de matriz unitária e a propriedade do adjunto de um produto.
Passo 2
Primeiro, recordando a teoria: uma matriz M é unitária se satisfaz
onde M^* é o adjunto (conjugada transposta) de M e I é a matriz identidade.
Passo 3
Também precisamos da propriedade geral do adjunto de um produto: se X e Y são matrizes compatíveis, então
Passo 4
Agora, para mostrar que AB é unitária, calculamos
e
Como ambos os produtos dão a identidade, AB é unitária.
Passo 5
Para BA é exatamente a mesma ideia: usando (BA)^* = A^* B^*, obtemos
e
Logo BA também é unitária.
Resposta
As matrizes AB e BA são unitárias.