-15 Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x+y)=f(x)+f(y), para quaisquer números reais x e y.
(a) Calcule f(0).
(b) Prove que a função f é ímpar, isto é, \mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x}), para todo real x .
(c) Prove que f(n x)=n f(x) para todo número natural n.
(d) Sejam p e q números naturais. Prove q u e f(p / q)=p / q \cdot f(1).
(e) Suponha que f seja estritamente crescente, isto é, se x<y, então f(x)< f(y) para quaisquer x e y reais.
(i) Prove que f(x)>0, para todo número real positivo x.
(ii) Prove que f(x)=x f(1), para todo número real x. Sugestão: Utilize que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos números reais, isto é, dados dois números reais quaisquer, existe um número racional entre eles.

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfazendo a equação de Cauchy
f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}.
Queremos:
(a) Calcular f(0).
(b) Mostrar que f é ímpar: f(-x)=-f(x).
(c) Provar que f(nx)=n\,f(x) para todo n\in\mathbb{N}.
(d) Provar que, para p,q\in\mathbb{N}, vale
f\!\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=\tfrac{p}{q}\,f(1).
(e) Supondo que f seja estritamente crescente, mostrar:
(i) f(x)>0 para x>0.
(ii) f(x)=x\,f(1) para todo x\in\mathbb{R}, usando a densidade dos racionais.

Passo 2

Para x=y=0 na condição f(x+y)=f(x)+f(y) obtemos
f(0+0)=f(0)+f(0)\quad\Longrightarrow\quad f(0)=2\,f(0) \quad\Longrightarrow\quad f(0)=0.

Passo 3

Para qualquer x, escreva x+(-x)=0. Então
f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(-x)=-f(x),
ou seja, f é ímpar.

Passo 4

Prova por indução em n\in\mathbb{N} de que f(n\,x)=n\,f(x).
Base n=1: f(1\cdot x)=f(x)=1\cdot f(x).
Passo indutivo: suponha f(kx)=k\,f(x). Então
f\bigl((k+1)x\bigr)=f(kx + x)=f(kx)+f(x)=k\,f(x)+f(x)=(k+1)f(x).
Logo vale para todo n.

Passo 5

Se p,q\in\mathbb{N}, então q\cdot\bigl(p/q\bigr)=p. Usando o passo anterior:
f(p)=f\bigl(q\cdot\tfrac{p}{q}\bigr) =q\,f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr),
porém f(p)=f(1+1+\cdots+1)=p\,f(1). Assim
q\,f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=p\,f(1) \quad\Longrightarrow\quad f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=\tfrac{p}{q}\,f(1).

Passo 6

Suponha f estritamente crescente. Para x>0 temos 0<x, logo
f(0)<f(x)\quad\Longrightarrow\quad 0<f(x).

Passo 7

Para mostrar f(x)=x\,f(1) em todo real x, observe que para qualquer racional r as conclusões anteriores dão
f(r)=r\,f(1).
Como os racionais são densos em \mathbb{R}, dados x\in\mathbb{R} e quaisquer racionais r_1<x<r_2 temos, pela monotonicidade,
f(r_1)=r_1f(1)<f(x)<r_2f(1)=f(r_2).
Dividindo tudo por f(1)>0 (pois f(1)=f(1\cdot1)>0) obtemos
r_1<\frac{f(x)}{f(1)}<r_2
para todo par de racionais r_1<x<r_2. Isso só é possível se
\frac{f(x)}{f(1)}=x,
isto é, f(x)=x\,f(1) para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) f(0)=0.
(b) f(-x)=-f(x).
(c) f(nx)=n\,f(x) para todo n\in\mathbb{N}.
(d) f\bigl(\tfrac{p}{q}\bigr)=\tfrac{p}{q}\,f(1).
(e)(i) f(x)>0 para x>0.
(e)(ii) f(x)=x\,f(1) para todo x\in\mathbb{R}.

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