-15 Considere
tal que
, para quaisquer números reais
e
.
(a) Calcule
.
(b) Prove que a função f é ímpar, isto é,
, para todo real x .
(c) Prove que
para todo número natural
.
(d) Sejam
e
números naturais. Prove
.
(e) Suponha que
seja estritamente crescente, isto é, se
, então
para quaisquer
e
reais.
(i) Prove que
, para todo número real positivo
.
(ii) Prove que
, para todo número real
. Sugestão: Utilize que o conjunto dos números racionais é denso no conjunto dos números reais, isto é, dados dois números reais quaisquer, existe um número racional entre eles.
(a) Calcule
(b) Prove que a função f é ímpar, isto é,
(c) Prove que
(d) Sejam
(e) Suponha que
(i) Prove que
(ii) Prove que
Passo 1
O enunciado dá uma função
satisfazendo a equação de Cauchy
Queremos:
(a) Calcular
.
(b) Mostrar que é ímpar:
.
(c) Provar que para todo
.
(d) Provar que, para , vale
(b) Mostrar que
(c) Provar que
(d) Provar que, para
(e) Supondo que
seja estritamente crescente, mostrar:
(i) para
.
(ii) para todo
, usando a densidade dos racionais.
(i)
(ii)
Passo 2
Para
na condição
obtemos
Passo 3
Para qualquer
, escreva
. Então
ou seja,
é ímpar.
Passo 4
Prova por indução em
de que
.
Base :
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base
Passo indutivo: suponha
Logo vale para todo
.
Passo 5
Se
, então
. Usando o passo anterior:
porém
. Assim
Passo 6
Suponha
estritamente crescente. Para
temos
, logo
Passo 7
Para mostrar
em todo real
, observe que para qualquer racional
as conclusões anteriores dão
Como os racionais são densos em
, dados
e quaisquer racionais
temos, pela monotonicidade,
Dividindo tudo por
(pois
) obtemos
para todo par de racionais
. Isso só é possível se
isto é,
para todo
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) para todo
.
(d) .
(e)(i) para
.
(e)(ii) para todo
.
(b)
(c)
(d)
(e)(i)
(e)(ii)