14 Seja uma base ortonormal de , um espaço vetorial com produto interno. Demonstre:
a) para qualquer temos
b) .
c) para quaisquer T: V V temos
i j
d) se A=[T]B é linear, então T é o elemento na posição V da matriz , a representação de , na base de .
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar propriedades básicas de uma base ortonormal e1,dots,en num espaço com produto interno: a expansão de qualquer vetor nessa base, a forma do produto interno entre combinações lineares, o produto interno geral entre dois vetores e a relação entre matriz de um operador linear e esses produtos.
Passo 2
Como a base é ortonormal, qualquer vetor uin V tem expansão única u=sumi=1^nalphai ei. Fazendo o produto interno com ej obtemos
Seja T:Vto V linear e A=[T]ei. Pela definição de matriz, a coluna j de A são as coordenadas de T(ej);
T(ej)=sumi=1^n Aijei
Fazendo o produto interno com ei e usando ortonormalidade:
lang<= T(ej),eirang<==Aij
Resposta
a) u=sumi=1^nlang<= u,eirang<= ei
b) lang<=sum ai ei,sum bi eirang<==sumi=1^n aibi
c) lang<= u,vrang<==sumi=1^nlang<= u,eirang<=lang<= v,eirang<=
d) Se A=[T]ei, então Aij=lang<= T(ej),eirang<=.