14 Seja V uma base ortonormal de u in V, um espaço vetorial com produto interno. Demonstre:
a) para qualquer u=lang<= u, e1rang<= e1+lang<= u, e2rang<= e2+ldots+lang<= u, enrang<= en temos
u, v in V
b) lang<= u, vrang<==lang<= u, e1rang<= lang<= v, e1rang<=+ldots+lang<= u, enrang<= lang<= v, enrang<= .
c) para quaisquer T: V V temos
i j
d) se A=[T]B é linear, então T é o elemento na posição V da matriz , a representação de , na base de .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar propriedades básicas de uma base ortonormal e1,dots,en num espaço com produto interno: a expansão de qualquer vetor nessa base, a forma do produto interno entre combinações lineares, o produto interno geral entre dois vetores e a relação entre matriz de um operador linear e esses produtos.

Passo 2

Como a base é ortonormal, qualquer vetor uin V tem expansão única u=sumi=1^nalphai ei. Fazendo o produto interno com ej obtemos
lang<= u,ejrang<==lang<=sumi=1^nalphai ei,ejrang<==sumi=1^nalphailang<= ei,ejrang<==alphaj
Logo alphaj=lang<= u,ejrang<= e
u=sumi=1^nlang<= u,eirang<= ei

Passo 3

Sejam dois vetores escritos em coordenadas ortonormais a=sumi=1^n ai ei e b=sumj=1^n bj ej. Então
lang<= a,brang<==lang<=sumi=1^n ai ei,sumj=1^n bj ejrang<= =sumi=1^nsumj=1^n aibjlang<= ei,ejrang<= =sumi=1^n aibi

Passo 4

Para quaisquer u,vin V, usamos a expansão de u e a linearidade no 1º argumento e conjugada no 2º:
lang<= u,vrang<==lang<=sumi=1^nlang<= u,eirang<= ei,,vrang<= =sumi=1^nlang<= u,eirang<=lang<= v,eirang<=

Passo 5

Seja T:Vto V linear e A=[T]ei. Pela definição de matriz, a coluna j de A são as coordenadas de T(ej);
T(ej)=sumi=1^n Aijei
Fazendo o produto interno com ei e usando ortonormalidade:
lang<= T(ej),eirang<==Aij

Resposta

a) u=sumi=1^nlang<= u,eirang<= ei
b) lang<=sum ai ei,sum bi eirang<==sumi=1^n aibi
c) lang<= u,vrang<==sumi=1^nlang<= u,eirang<=lang<= v,eirang<=
d) Se A=[T]ei, então Aij=lang<= T(ej),eirang<=.

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