Dados
inteiros positivos, considere
a matriz
que possui todas as entradas nulas, exceto na posição
, que vale 1 . Verifique que:
é uma base para
;
Passo 1
No enunciado, temos o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes de tamanho
com entradas em
. Recebemos o conjunto
, onde cada
é a matriz com 1 na posição
e zeros nas outras posições. Para mostrar que esse conjunto é base, precisamos provar que ele é linearmente independente e que gera todo o espaço.
Passo 2
Para ver que é linearmente independente, suponha uma combinação linear qualquer igual à matriz zero:
. Observando a posição
dessa soma, o único termo que contribui ali é
, cujo valor nessa posição é
. Como o resultado é a matriz nula, cada entrada deve ser zero, ou seja,
para todo
. Logo só existe combinação trivial e o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Para ver que gera
, tome uma matriz arbitrária
. Podemos escrever
pois na soma acima, cada
Passo 4
O conjunto tem exatamente
elementos, e sabemos que a dimensão de
também é 15. Como temos 15 vetores que são linearmente independentes e ainda geram todo o espaço, concluímos que formam uma base de
.
Resposta
O conjunto
é base de
.