Dados m, n inteiros positivos, considere Ei j a matriz m times n que possui todas as entradas nulas, exceto na posição i j, que vale 1 . Verifique que:
M(3 times 5, R) é uma base para ;

Passo 1

No enunciado, temos o espaço vetorial M(3times5,R), que é o conjunto de todas as matrizes de tamanho 3times5 com entradas em R. Recebemos o conjunto Eijmid i=1,2,3,,;j=1,dots,5, onde cada Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nas outras posições. Para mostrar que esse conjunto é base, precisamos provar que ele é linearmente independente e que gera todo o espaço.

Passo 2

Para ver que é linearmente independente, suponha uma combinação linear qualquer igual à matriz zero: sumi=1^3sumj=1^5 aijEij=0. Observando a posição (i,j) dessa soma, o único termo que contribui ali é aijEij, cujo valor nessa posição é aij. Como o resultado é a matriz nula, cada entrada deve ser zero, ou seja, aij=0 para todo i,j. Logo só existe combinação trivial e o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Para ver que gera M(3times5,R), tome uma matriz arbitrária M=(mij). Podemos escrever
M=sumi=1^3sumj=1^5 mijEij
pois na soma acima, cada Eij contribui exatamente com mij na posição (i,j) e zeros nos outros lugares, reproduzindo M. Isso mostra que qualquer matriz de M(3times5,R) é combinação linear dos Eij.

Passo 4

O conjunto tem exatamente 3times5=15 elementos, e sabemos que a dimensão de M(3times5,R) também é 15. Como temos 15 vetores que são linearmente independentes e ainda geram todo o espaço, concluímos que formam uma base de M(3times5,R).

Resposta

O conjunto E11,E12,dots,E35 é base de M(3times5,R).

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