Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3. Justifique as suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto E=(x,y,z)in R^3mid x y=0 é subespaço vetorial de R^3. Vamos usar os critérios: presença do vetor zero, fechamento sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Lembrando que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar. Primeiro, conferimos o vetor zero: o vetor (0,0,0) satisfaz 0cdot0=0, logo (0,0,0)in E.

Passo 3

Para testar o fechamento sob soma, escolhemos dois vetores em E. Por exemplo, u=(1,0,0) e v=(0,1,0) estão em E porque 1cdot0=0 e 0cdot1=0. Porém,
a soma u+v=(1,1,0) não pertence a E, pois 1cdot1=1neq0. Portanto, E não é fechado sob adição.

Passo 4

Como já falha no fechamento sob soma, não precisamos checar mais. Concluímos que E não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

E não é subespaço vetorial de R^3, pois não é fechado sob adição.

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