Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3. Justifique as suas respostas.
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Passo 1

O problema pede para verificar se o conjunto D={(x,y,z)∈\mathbb{R}^3 | y=x+2 e z=0} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, usamos o fato de que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Vamos testar se o vetor zero (0,0,0) pertence a D. Substituindo em y=x+2, temos 0 = 0 + 2, o que não é verdade (0≠2). Logo, (0,0,0) não está em D.

Passo 3

Como D não contém o vetor zero, já podemos concluir que D não é subespaço. Para reforçar, note que para qualquer (x,x+2,0) em D e escalar k, temos k(x,x+2,0)=(kx, k(x+2),0). Para pertencer a D precisaríamos k(x+2)=kx+2 para todo k, o que só vale se k=1. Portanto D também não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

D não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, pois não contém o vetor zero.

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