Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
e
Passo 1
O problema pede para verificar se o conjunto D={(x,y,z)∈\mathbb{R}^3 | y=x+2 e z=0} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, usamos o fato de que um subespaço deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Vamos testar se o vetor zero
pertence a D. Substituindo em y=x+2, temos 0 = 0 + 2, o que não é verdade (0≠2). Logo,
não está em D.
Passo 3
Como D não contém o vetor zero, já podemos concluir que D não é subespaço. Para reforçar, note que para qualquer
em D e escalar k, temos k(x,x+2,0)=(kx, k(x+2),0). Para pertencer a D precisaríamos k(x+2)=kx+2 para todo k, o que só vale se k=1. Portanto D também não é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
D não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, pois não contém o vetor zero.