Dados m, n inteiros positivos, considere Ei j a matriz m times n que possui todas as entradas nulas, exceto na posição i j, que vale 1 . Verifique que:
2 times 2 é uma base para o subespaço das matrizes simétricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto {E_{11}, E_{12}, E_{22}} forma uma base do espaço das matrizes 2×2 simétricas. Vamos usar que uma matriz 2×2 simétrica tem a forma a & b b & c e revisar os conceitos de geração (span) e independência linear.

Passo 2

Uma matriz 2×2 simétrica qualquer pode ser escrita como
M=a & b b & c
para alguns escalares a,b,c. Precisamos ver se conseguimos expressar M como combinação linear de E11,E12,E22.
Definindo cada geradora como
E11=1&00&0, ;E12=0&11&0, ;E22=0&00&1,
observamos que
aE11+bE12+cE22= a&00&0+ 0&bb&0+ 0&00&c= a&bb&c=M
Assim, qualquer simétrica é combinação linear dessas três matrizes, o que prova que elas geram o espaço.

Passo 3

Para ver independência linear, suponha
alpha E11+beta E12+gamma E22=02times2
Isso dá
alpha & beta beta & gamma= 0&00&0
Logo alpha=0,beta=0,gamma=0, mostrando que só a combinação trivial anula o soma. Portanto, são linearmente independentes.

Passo 4

Como o conjunto gera o espaço e é linearmente independente, concluímos que {E_{11},E_{12},E_{22}} é uma base do espaço das matrizes 2×2 simétricas.

Resposta

{E_{11}, E_{12}, E_{22}} é uma base do subespaço das matrizes 2×2 simétricas.

Exercícios relacionados