Dados
inteiros positivos, considere
a matriz
que possui todas as entradas nulas, exceto na posição
, que vale 1 . Verifique que:
é uma base para o subespaço das matrizes
simétricas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto {E_{11}, E_{12}, E_{22}} forma uma base do espaço das matrizes 2×2 simétricas. Vamos usar que uma matriz 2×2 simétrica tem a forma
e revisar os conceitos de geração (span) e independência linear.
Passo 2
Uma matriz 2×2 simétrica qualquer pode ser escrita como
para alguns escalares
. Precisamos ver se conseguimos expressar
como combinação linear de
.
Definindo cada geradora como
observamos que
Assim, qualquer simétrica é combinação linear dessas três matrizes, o que prova que elas geram o espaço.
Passo 3
Para ver independência linear, suponha
Isso dá
Logo
, mostrando que só a combinação trivial anula o soma. Portanto, são linearmente independentes.
Passo 4
Como o conjunto gera o espaço e é linearmente independente, concluímos que {E_{11},E_{12},E_{22}} é uma base do espaço das matrizes 2×2 simétricas.
Resposta
{E_{11}, E_{12}, E_{22}} é uma base do subespaço das matrizes 2×2 simétricas.