Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a pré-imagem de
pela função
é igual a
menos a pré-imagem de
por
. Estamos trabalhando com teoria de conjuntos e funções, e vamos precisar entender o que é pré-imagem e operações com conjuntos como a diferença.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem. Se temos uma função
e um conjunto
, a pré-imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
. Ou seja,
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. O conjunto
é tudo que está em
mas não está em
. Então, a pré-imagem disso são todos os
em
que são mapeados para algum elemento que não está em
.
Passo 4
Por outro lado,
é o conjunto de todos os
em
que são mapeados para
. Se tirarmos esse conjunto de todo o
, ou seja,
, estamos pegando exatamente os
que não são mapeados para
.
Passo 5
Então, juntando as ideias:
e
Eles são o mesmo conjunto!
Resposta
Portanto, mostramos que