Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
(f) f^(-1)[Y - B1] = X - f^(-1)[B1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a pré-imagem de pela função é igual a menos a pré-imagem de por . Estamos trabalhando com teoria de conjuntos e funções, e vamos precisar entender o que é pré-imagem e operações com conjuntos como a diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem. Se temos uma função e um conjunto , a pré-imagem é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento em . Ou seja,

Passo 3

Agora, queremos encontrar . O conjunto é tudo que está em mas não está em . Então, a pré-imagem disso são todos os em que são mapeados para algum elemento que não está em .

Passo 4

Por outro lado, é o conjunto de todos os em que são mapeados para . Se tirarmos esse conjunto de todo o , ou seja, , estamos pegando exatamente os que não são mapeados para .

Passo 5

Então, juntando as ideias:
e
Eles são o mesmo conjunto!

Resposta

Portanto, mostramos que

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