14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 3} \frac{x^{2}+2 x-\frac{3}{x^{2}}}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 3} \frac{x^{2}+2x-\dfrac{3}{x^{2}}}{2-x}.
Informações dadas:
\text{numerador: }x^{2}+2x-\dfrac{3}{x^{2}},\qquad \text{denominador: }2-x.
A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende a 3?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando lidamos com limites de funções que são combinações de funções contínuas (polinômios, operações aritméticas, e termos racionais bem definidos), se a expressão está definida no ponto de interesse e o denominador não se anula ali, podemos simplesmente substituir x pelo valor para obter o limite. Vou usar isso aqui: antes de substituir, verifico se tudo está bem definido em x=3.

Passo 3

Avalio o numerador em x=3. Substituindo x=3 na expressão do numerador:
3^{2}+2\cdot 3-\dfrac{3}{3^{2}}.
Agora faço as contas passo a passo:
3^{2}=9,\qquad 2\cdot 3=6,\qquad 3^{2}=9\Rightarrow \dfrac{3}{3^{2}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
Portanto
9+6-\dfrac{1}{3}=15-\dfrac{1}{3}.
Para somar/subtrair frações, escrevo em denominador comum:
15-\dfrac{1}{3}=\dfrac{45}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{44}{3}.
Logo, o numerador avaliado em x=3 vale \dfrac{44}{3}.

Passo 4

Avalio o denominador em x=3:
2-3=-1.
O denominador não é zero em x=3, então a substituição direta é permitida.

Passo 5

Pelo que expliquei no Passo 2 (continuidade e substituição direta quando a expressão está definida), o limite é o quociente dos valores avaliados no numerador e no denominador em x=3, ou seja:
\frac{\dfrac{44}{3}}{-1}.

Resposta

-\dfrac{44}{3}

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