14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}+x-2}{x-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a função racional f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{x-1}.
  • Se substituirmos x=1 diretamente no numerador temos 1^{2}+1-2=0.
  • Se substituirmos x=1 no denominador temos 1-1=0.
  • Portanto, ao substituir diretamente obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada: não é suficiente para decidir o valor do limite.
  • A função original não está definida em x=1 (denominador zero), mas o limite pode existir mesmo assim.

Passo 2

Explicação didática do que faremos: quando uma expressão dá \dfrac{0}{0} ao tentar substituir o ponto, uma técnica simples é tentar simplificar a expressão algébrica (fatorando e simplificando fatores comuns). Isso remove a indeterminação e permite calcular o limite por substituição em uma expressão equivalente para x próximos de, mas distintos de, 1.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador \;x^{2}+x-2\;. Para fatorar um trinômio do tipo \;x^{2}+bx+c\; procuramos dois números cujo produto seja c e cuja soma seja b.
Aqui b=1 e c=-2. Dois números que satisfazem isso são 2 e -1, pois 2\cdot(-1)=-2 e 2+(-1)=1.
Portanto o numerador fatora como
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).

Passo 4

Reescrevendo a fração com a fatoração obtida, temos (para x\neq 1):
\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}.
Como estamos interessados no limite quando x\to 1, podemos considerar x próximos de 1 mas diferentes de 1, então é legal simplificar o fator comum (x-1):
\frac{(x+2)(x-1)}{x-1}=x+2 \qquad\text{(válido para }x\neq 1\text{)}.á

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para x+2 em um entorno de x=1 (exceto no próprio ponto), podemos usar a propriedade de continuidade de polinômios: a função g(x)=x+2 é contínua em todo \mathbb{R}. Para funções contínuas, o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a.
Assim, o limite da nossa função original quando x\to 1 é igual ao valor de x+2 em x=1.

Passo 6

Comentário final e incentivo: fizemos a técnica clássica — identificar a indeterminação \tfrac{0}{0}, fatorar o polinômio, cancelar o fator comum e usar continuidade para avaliar o limite. É um procedimento muito útil e rápido em provas. Você conseguiu acompanhar até aqui — está indo bem!

Resposta

3

Exercícios relacionados