Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a função racional
. - Se substituirmos
diretamente no numerador temos . - Se substituirmos
no denominador temos . - Portanto, ao substituir diretamente obtemos a forma
, que é uma forma indeterminada: não é suficiente para decidir o valor do limite. - A função original não está definida em
(denominador zero), mas o limite pode existir mesmo assim.
Passo 2
Explicação didática do que faremos: quando uma expressão dá
ao tentar substituir o ponto, uma técnica simples é tentar simplificar a expressão algébrica (fatorando e simplificando fatores comuns). Isso remove a indeterminação e permite calcular o limite por substituição em uma expressão equivalente para
próximos de, mas distintos de,
.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Para fatorar um trinômio do tipo
procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
.
Aqui e
. Dois números que satisfazem isso são
e
, pois
e
.
Portanto o numerador fatora como
Aqui
Portanto o numerador fatora como
Passo 4
Reescrevendo a fração com a fatoração obtida, temos (para
):
Como estamos interessados no limite quando
, podemos considerar
próximos de
mas diferentes de
, então é legal simplificar o fator comum
:
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão para
em um entorno de
(exceto no próprio ponto), podemos usar a propriedade de continuidade de polinômios: a função
é contínua em todo
. Para funções contínuas, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
.
Assim, o limite da nossa função original quando é igual ao valor de
em
.
Assim, o limite da nossa função original quando
Passo 6
Comentário final e incentivo: fizemos a técnica clássica — identificar a indeterminação
, fatorar o polinômio, cancelar o fator comum e usar continuidade para avaliar o limite. É um procedimento muito útil e rápido em provas. Você conseguiu acompanhar até aqui — está indo bem!