Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, quando
tende a
, da função racional
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável tende a
.
A pergunta concreta é: qual é o valor desse limite? (existe finito, infinito, ou não existe?)
Passo 2
Vamos relembrar conceitos úteis antes de começar a manipular:
- Para
, temos . Ou seja, termos com desaparecem quando . - Para funções racionais (frações de polinômios) uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador ou no numerador, para obter termos que tendem a zero e identificar o comportamento dominante. - Se depois da simplificação o resultado contém um fator que cresce sem limite (por exemplo algo proporcional a
positivo), então o limite é ; se for proporcional a grande negativo, é .
Vou aplicar a técnica de dividir por uma potência de(escolhendo , porque o denominador tem grau ) e usar que termos com potências negativas de tendem a zero.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Escrever cada termo com essa divisão explicitamente:
Agora calculamos cada fração dentro da expressão:
Para o denominador, note que
Portanto a expressão fica
Passo 4
Agora vamos analisar o comportamento de cada termo quando
:
-
. -
. -
, então .
Com isso, paramuito grande a expressão se aproxima de
Passo 5
Como a expressão se aproxima de
quando
, e sabemos que
, concluímos que o limite original também tende a
. Para reforçar: para
grande e positivo o numerador é positivo dominado por
e o denominador é positivo (pois
para
grande), então o quociente cresce para
.
Uma observação alternativa (regra prática para provas): comparar graus dos polinômios. O numerador tem grau (termo
) e o denominador, expandido, tem grau
(pois
é um polinômio de grau
). Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em
é infinito em módulo; o sinal depende dos coeficientes líderes. Aqui coeficiente líder do numerador é
e do denominador efetivamente é
(pois o termo dominante de
é
), logo o limite é
. Isso dá o mesmo resultado de forma rápida na prova.
Uma observação alternativa (regra prática para provas): comparar graus dos polinômios. O numerador tem grau