14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow \infty} \frac{4 x^{4}+2 x^{2}-\frac{5}{x^{4}}}{(2 x-1)^{3}}\'}, {

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, quando x tende a +\infty, da função racional
\frac{4x^{4}+2x^{2}-\dfrac{5}{x^{4}}}{(2x-1)^{3}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O numerador é \;4x^{4}+2x^{2}-\dfrac{5}{x^{4}}\;.
  • O denominador é \;(2x-1)^{3}\;.
  • A variável tende a +\infty.
    A pergunta concreta é: qual é o valor desse limite? (existe finito, infinito, ou não existe?)

Passo 2

Vamos relembrar conceitos úteis antes de começar a manipular:
  • Para p>0, temos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{p}}=0. Ou seja, termos com 1/x^{p} desaparecem quando x\to\infty.
  • Para funções racionais (frações de polinômios) uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador ou no numerador, para obter termos que tendem a zero e identificar o comportamento dominante.
  • Se depois da simplificação o resultado contém um fator que cresce sem limite (por exemplo algo proporcional a x positivo), então o limite é +\infty; se for proporcional a -x grande negativo, é -\infty.
    Vou aplicar a técnica de dividir por uma potência de x (escolhendo x^{3}, porque o denominador tem grau 3) e usar que termos com potências negativas de x tendem a zero.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{3}. Escrever cada termo com essa divisão explicitamente:
\frac{4x^{4}+2x^{2}-\dfrac{5}{x^{4}}}{(2x-1)^{3}} = \frac{\dfrac{4x^{4}}{x^{3}}+\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{5}{x^{4}}\cdot\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{(2x-1)^{3}}{x^{3}}}.
Agora calculamos cada fração dentro da expressão:
\dfrac{4x^{4}}{x^{3}}=4x,\qquad \dfrac{2x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{2}{x},\qquad \dfrac{5}{x^{4}}\cdot\dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{5}{x^{7}}.
Para o denominador, note que
\dfrac{(2x-1)^{3}}{x^{3}}=\biggl(\dfrac{2x-1}{x}\biggr)^{3}=\biggl(2-\dfrac{1}{x}\biggr)^{3}.
Portanto a expressão fica
\frac{4x+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^{7}}}{\bigl(2-\dfrac{1}{x}\bigr)^{3}}.

Passo 4

Agora vamos analisar o comportamento de cada termo quando x\to\infty:
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{2}{x}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{5}{x^{7}}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(2-\dfrac{1}{x}\bigr)=2, então \displaystyle\lim_{x\to\infty}\bigl(2-\dfrac{1}{x}\bigr)^{3}=2^{3}=8.
    Com isso, para x muito grande a expressão se aproxima de
\frac{4x+0-0}{8}=\frac{4x}{8}=\frac{x}{2}.

Passo 5

Como a expressão se aproxima de \dfrac{x}{2} quando x\to\infty, e sabemos que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty, concluímos que o limite original também tende a +\infty. Para reforçar: para x grande e positivo o numerador é positivo dominado por 4x^{4} e o denominador é positivo (pois (2x-1)^{3}>0 para x grande), então o quociente cresce para +\infty.
Uma observação alternativa (regra prática para provas): comparar graus dos polinômios. O numerador tem grau \;4\; (termo 4x^{4}) e o denominador, expandido, tem grau \;3\; (pois (2x-1)^{3} é um polinômio de grau 3). Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite em +\infty é infinito em módulo; o sinal depende dos coeficientes líderes. Aqui coeficiente líder do numerador é 4>0 e do denominador efetivamente é 8>0 (pois o termo dominante de (2x-1)^{3} é (2x)^{3}=8x^{3}), logo o limite é +\infty. Isso dá o mesmo resultado de forma rápida na prova.

Resposta

+\infty

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