Dadas as funções f e g definidas por :
f(x)=\left{ \begin{array}{c} x^{2}-2 \text { se } x<2 \\ |x-4| \text { se } 2 \leq x \leq 8 \\ -x+4 \text { se } x>8 \end{array}\right. \
g(x)=\left{ \begin{array}{c} \sqrt{x^{2}+16} \text { se } x \leq 0 \\ x^{2} \text { se } x>0 \end{array}\right.
pede-se:
\mathrm{f}(\mathrm{f}(\mathrm{f}(9)))

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(f(f(9)))\). As funções fornecidas são, conforme o enunciado: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-2 & \text{se } x<2,\\[6pt] |x-4| & \text{se } 2 \leq x \leq 8,\\[6pt] -x+4 & \text{se } x>8, \end{cases}
g(x)=\begin{cases} \sqrt{x^{2}+16} & \text{se } x\leq 0,\\[6pt] x^{2} & \text{se } x>0. \end{cases}
Informações relevantes listadas:
  • A operação pedida é uma composição de três aplicações de f\]: primeiro calculamos \(f(9), depois f(\text{resultado}), e por fim f(\text{novo resultado}).
  • A função f é definida por partes; para cada entrada x devemos verificar em qual intervalo ela se encaixa ( x<2, 2\le x\le 8 ou x>8) e usar a expressão correspondente.
  • A função g foi dada no enunciado, mas não é necessária para calcular f(f(f(9))) (vou mencionar isso quando for conveniente).]

Passo 2

Breve explicação didática sobre como avaliar f em um número e como proceder com composições:
  • Uma função definida por partes significa que para diferentes valores de entrada x usamos fórmulas diferentes. Então o passo inicial é sempre comparar o número com os limites dos intervalos e escolher a expressão correta.
  • A composição f(f(9)) significa “primeiro calcule f(9), depois aplique f ao resultado”. Em símbolos, (f\circ f)(9)=f\bigl(f(9)\bigr).
  • Vou aplicar isso passo a passo: primeiro achar f(9), depois f(f(9)), depois f(f(f(9))). Em cada avaliação eu mostro qual ramo de f foi usado e por quê.

Passo 3

Calcular f(9).
  • Verifico em qual intervalo 9 está: 9>8.
  • Logo uso a expressão correspondente -x+4.
  • Substituo x=9:
f(9) = -9+4.
  • Faço a conta: -9+4 = -5.
    Portanto,
f(9) = -5.

Passo 4

Calcular f(f(9)), isto é f(-5).
  • Primeiro noto que do passo anterior f(9)=-5, então a entrada agora é -5.
  • Verifico em qual intervalo -5 está: -5<2.
  • Para x<2 a fórmula de f é x^{2}-2.
  • Substituo x=-5:
f(-5) = (-5)^{2}-2.
  • Calculo: (-5)^{2}=25, então 25-2=23.
    Portanto,
f(f(9)) = f(-5) = 23.

Passo 5

Calcular f(f(f(9))), isto é f(23).
  • Do passo anterior, f(f(9))=23, então agora a entrada é 23.
  • Verifico em qual intervalo 23 está: 23>8.
  • Para x>8 usamos -x+4.
  • Substituo x=23:
f(23) = -23+4.
  • Faço a subtração: -23+4 = -19.
    Portanto,
f(f(f(9))) = -19.

Passo 6

Checagem final e observação didática:
  • Resumo das etapas: f(9)=-5 (porque 9>8), depois f(-5)=23 (porque -5<2), depois f(23)=-19 (porque 23>8).
  • A função g não foi usada em nenhum desses passos; ela estava no enunciado mas é irrelevante para esta composição específica.
  • Bom trabalho por seguir até aqui — composições de funções por partes exigem só atenção aos intervalos e substituições cuidadosas.

Resposta

-19

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