14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow \infty}\left(\frac{4 x^{3}+2 x^{2}}{(2 x-1)^{3}}-\frac{5}{x^{4}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende ao infinito:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}}-\frac{5}{x^{4}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • Temos uma diferença entre duas parcelas: a primeira é uma razão de polinômios \dfrac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}} e a segunda é \dfrac{5}{x^{4}}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite (se existir).

Passo 2

Regra útil que vamos usar (explicação didática): quando aparece o limite de uma expressão que é soma ou diferença de funções, o limite da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) dos limites individuais, desde que esses limites existam. Ou seja, se existirem os limites,
\lim_{x\to\infty}\left(f(x)\pm g(x)\right)=\lim_{x\to\infty}f(x)\pm\lim_{x\to\infty}g(x).
Aqui podemos aplicar essa regra se mostrarmos os limites das duas parcelas. Vou então calcular separadamente
\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}}
e
\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{4}}.

Passo 3

Método básico (e muito usado em provas): para limites de razão entre polinômios (ou funções polinomiais compostas), dividimos numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador ou no numerador, para identificar os termos que dominam quando x\to\infty. No nosso caso a primeira fração tem grau máximo 3 (pois x^{3} aparece no numerador e (2x-1)^{3} também é de grau 3). Então dividimos numerador e denominador por x^{3}. Fazendo isso obtém-se
\frac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}} =\frac{x^{3}\left(4+\dfrac{2}{x}\right)}{x^{3}\left(2-\dfrac{1}{x}\right)^{3}} =\frac{4+\dfrac{2}{x}}{\left(2-\dfrac{1}{x}\right)^{3}}.

Passo 4

Agora usamos que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to\infty. Portanto os termos com \dfrac{1}{x} desaparecem no limite. Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{4+\dfrac{2}{x}}{\left(2-\dfrac{1}{x}\right)^{3}} =\frac{\lim_{x\to\infty}\left(4+\dfrac{2}{x}\right)}{\left(\lim_{x\to\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\right)^{3}} =\frac{4+0}{(2-0)^{3}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Comentário pedagógico: outra maneira de ver isso é expandir (2x-1)^{3}=8x^{3}-12x^{2}+6x-1 e observar que os termos de maior grau dominam quando x\to\infty. A razão dos coeficientes dos termos x^{3} é \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora a segunda parcela. Para toda função do tipo \dfrac{c}{x^{k}} com c constante e k>0, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{c}{x^{k}}=0,
porque o denominador cresce sem limite e “vence” o numerador constante. Aplicando ao nosso caso,
\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{4}}=0.

Passo 6

Voltando ao limite original e usando a propriedade do Passo 2 (limite da diferença = diferença dos limites), juntamos os resultados:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}}-\frac{5}{x^{4}}\right) =\left(\lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}+2x^{2}}{(2x-1)^{3}}\right)-\left(\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^{4}}\right) =\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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