Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende ao infinito:
Informações relevantes dadas:
- Temos uma diferença entre duas parcelas: a primeira é uma razão de polinômios
e a segunda é . - O ponto de interesse é
. - O objetivo é encontrar o valor do limite (se existir).
Passo 2
Regra útil que vamos usar (explicação didática): quando aparece o limite de uma expressão que é soma ou diferença de funções, o limite da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) dos limites individuais, desde que esses limites existam. Ou seja, se existirem os limites,
Aqui podemos aplicar essa regra se mostrarmos os limites das duas parcelas. Vou então calcular separadamente
e
Passo 3
Método básico (e muito usado em provas): para limites de razão entre polinômios (ou funções polinomiais compostas), dividimos numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador ou no numerador, para identificar os termos que dominam quando
. No nosso caso a primeira fração tem grau máximo
(pois
aparece no numerador e
também é de grau
). Então dividimos numerador e denominador por
. Fazendo isso obtém-se
Passo 4
Agora usamos que
quando
. Portanto os termos com
desaparecem no limite. Assim,
Comentário pedagógico: outra maneira de ver isso é expandir
e observar que os termos de maior grau dominam quando
. A razão dos coeficientes dos termos
é
.
Passo 5
Agora a segunda parcela. Para toda função do tipo
com
constante e
, temos
porque o denominador cresce sem limite e “vence” o numerador constante. Aplicando ao nosso caso,
Passo 6
Voltando ao limite original e usando a propriedade do Passo 2 (limite da diferença = diferença dos limites), juntamos os resultados: