Questão : Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto em que o limite é pedido é
. - Não há outras condições ou dados adicionais.
Passo 2
Vou simplificar a expressão por uma substituição para deixar o limite mais óbvio. Defino
Então
Substituindo na expressão original obtenho
Passo 3
Agora o limite passa a ser, com
quando
,
Para prosseguir preciso usar o resultado clássico
Vou justificar esse resultado de forma sucinta e didática.
Passo 4
Demonstração do limite
(argumento por desigualdade / squeeze):
- Para
vale a desigualdade geométrica conhecida - Dividindo tudo por
(positivo) obtemos - Como
, a desigualdade à direita vira e rearranjando resulta a forma habitual - Agora, fazendo
, sabemos que . Pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto (squeeze), concluímos que - Como
, o limite lateral à esquerda é o mesmo, logo
Passo 5
Voltando ao limite que interessa, usando que
e que limite de uma constante multiplicada pelo quadrado é a constante vezes o quadrado do limite, temos