14{ }^{\text {a }} Questão : Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 0} \frac{\left[\operatorname{sen}\left(\frac{x}{4}\right)\right]^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x \to 0} \frac{\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\right]^2}{x^2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle \frac{\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\right]^2}{x^2}.
  • O ponto em que o limite é pedido é x\to 0.
  • Não há outras condições ou dados adicionais.

Passo 2

Vou simplificar a expressão por uma substituição para deixar o limite mais óbvio. Defino
u=\frac{x}{4}.
Então
x=4u\quad\Rightarrow\quad x^2=16u^2.
Substituindo na expressão original obtenho
\frac{\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{4}\right)\right]^2}{x^2} = \frac{[\operatorname{sen}(u)]^2}{16u^2} = \frac{1}{16}\left(\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\right)^2.

Passo 3

Agora o limite passa a ser, com u\to 0 quando x\to 0,
\lim_{u\to 0}\frac{1}{16}\left(\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\right)^2.
Para prosseguir preciso usar o resultado clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Vou justificar esse resultado de forma sucinta e didática.

Passo 4

Demonstração do limite \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 (argumento por desigualdade / squeeze):
  • Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida \operatorname{sen}(u) < u < \operatorname{tg}(u).
  • Dividindo tudo por u (positivo) obtemos \frac{\operatorname{sen}(u)}{u} < 1 < \frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.
  • Como \operatorname{tg}(u)=\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{\operatorname{cos}(u)}, a desigualdade à direita vira 1 < \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{1}{\operatorname{cos}(u)}e rearranjando resulta a forma habitual \operatorname{cos}(u) < \frac{\operatorname{sen}(u)}{u} < 1.
  • Agora, fazendo u\to 0^+, sabemos que \operatorname{cos}(u)\to 1. Pela desigualdade e pelo Teorema do Confronto (squeeze), concluímos que \lim_{u\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
  • Como \frac{\operatorname{sen}(-u)}{-u}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}, o limite lateral à esquerda é o mesmo, logo \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 5

Voltando ao limite que interessa, usando que \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 e que limite de uma constante multiplicada pelo quadrado é a constante vezes o quadrado do limite, temos
\lim_{u\to 0}\frac{1}{16}\left(\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\right)^2 = \frac{1}{16}\left(\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\right)^2 = \frac{1}{16}\cdot 1^2 = \frac{1}{16}.

Resposta

\dfrac{1}{16}

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