16 a Questão:

Uma partícula se move em linha reta de P(0,1,2) a Q(2,3,4), sob a ação do campo \mathbf{F}(x, y, z)= y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}. Determine o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força
\mathbf{F}(x,y,z) = y z\,\mathbf{i} + x z\,\mathbf{j} + x y\,\mathbf{k}
ao transportar uma partícula de P(0,1,2) a Q(2,3,4) ao longo da reta que une esses pontos.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e, como vamos ver, trata-se de um campo conservativo, então podemos usar potencial para simplificar.

Passo 2

Mostramos que \mathbf{F} é conservativo encontrando uma função potencial \varphi(x,y,z) que satisfaça
\nabla \varphi = \mathbf{F}.
Começamos integrando \partial\varphi/\partial x = y\,z em relação a x, obtendo
\varphi(x,y,z) = x\,y\,z + h(y,z).
Para ajustar h(y,z), comparamos com \partial\varphi/\partial y = x\,z, mas já vem de
\partial(x y z)/\partial y = x z e não depende de h, então \partial h/\partial y=0. De modo similar, \partial\varphi/\partial z=x y bate com o dado. Logo podemos escolher
\varphi(x,y,z)=x\,y\,z.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos, o trabalho é
W = \varphi\bigl(Q\bigr) - \varphi\bigl(P\bigr).

Passo 4

Calculamos
\varphi\bigl(Q\bigr)=\varphi(2,3,4)=2\cdot3\cdot4=24,
\varphi\bigl(P\bigr)=\varphi(0,1,2)=0\cdot1\cdot2=0,
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W = 24 - 0 = 24.

Resposta

24

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