14 Se u=x^2+y^2, mostre que .
Sugestão: Faça .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma função composta w = f(x^2 + y^2), então y,wx - x,wy = 0. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar definir uma nova variável u = x^2 + y^2 para facilitar a conta.

Passo 2

Definimos u = x^2 + y^2, de modo que w = f(u). Para calcular partial wpartial x, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos f(u) em relação a u, obtendo f'(u), e depois derivamos u em relação a x:
partial wpartial x = f'(u) cdot partial upartial x = f'(u) cdot 2x

Passo 3

De forma análoga, para partial wpartial y usamos a regra da cadeia: derivada de f(u) em relação a u vezes derivada de u em relação a y:
partial wpartial y = f'(u) cdot partial upartial y = f'(u) cdot 2y

Passo 4

Agora substituímos esses resultados na expressão y,wx - x,wy:
y,wx - x,wy = yl(2x f'(u)r) - xl(2y f'(u)r)
Fatorando 2xy f'(u), temos:
y,wx - x,wy = 2xy f'(u) - 2xy f'(u) = 0

Resposta

0

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