Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=cos (2 t), y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y''+y=cos(2t) com y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos precisar do método geral que separa a solução homogênea da particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo
yh=C1cos t+C2sin t,

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Fazemos o palpite yp=Acos(2t)+Bsin(2t). Calculando a derivada segunda:
yp''=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)

Passo 4

Substituindo em y''+y=cos(2t) temos
-4Acos(2t)-4Bsin(2t)+Acos(2t)+Bsin(2t)=cos(2t),
ou seja
(-3A)cos(2t)+(-3B)sin(2t)=cos(2t)

Passo 5

Igualando coeficientes vem -3A=1 e -3B=0, então A=-tfrac13 e B=0. Assim
yp=-tfrac13cos(2t)

Passo 6

A solução geral é
y(t)=C1cos t+C2sin t-tfrac13cos(2t)

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais. Como
y'(t)=-C1sin t+C2cos t+tfrac23sin(2t),
temos em t=0:
y(0)=C1-tfrac13=1implies C1=tfrac43,
y'(0)=C2=0implies C2=0

Resposta

y(t)=tfrac43cos t-tfrac13cos(2t).

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