Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^(i v)-y=0, y(0)=y^prime prime(0)=0, y^prime(0)=y^prime prime prime(0)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
y^(iv) - y = 0,
com as condições
y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=1
Este é um EDO linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes; para resolver, vamos usar a equação característica, achar suas raízes, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^4 - 1 = 0
As raízes dessa equação são r = 1,,-1,,i,,-i.

Passo 3

A partir das raízes, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos x + C4 sin x,
onde C1, C2, C3, C4 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas até a terceira e aplicamos as condições iniciais para obter um sistema em C1, C2, C3, C4. As derivadas são
y'(x)&=C1 e^x - C2 e^-x - C3 sin x + C4 cos x, y''(x)&=C1 e^x + C2 e^-x - C3 cos x - C4 sin x, y'''(x)&=C1 e^x - C2 e^-x + C3 sin x - C4 cos x
Em x=0 isso gera o sistema
C1 + C2 + C3 &= 0, C1 - C2 + C4 &= 1, C1 + C2 - C3 &= 0, C1 - C2 + C3 - C4 &= 1

Passo 5

Resolvendo o sistema acima, primeiro somando ou subtraindo as duas primeiras equações a fim de eliminar C3, vemos que C3=0 e C2=-C1. Substituindo de volta nas demais equações, obtemos
C1=tfrac12,
C2=-tfrac12 e
C4=0.

Resposta

y(x)=sinh x

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