Usando coordenadas polares faça o esboço das curvas dadas pelas equações.
r=3 sin 2 theta (rosa de quatro pétalas)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar em coordenadas polares a curva dada por r=3sin2theta. O conteúdo é curvas em coordenadas polares, e vamos precisar entender como varia sin2theta para obter os raios r e esboçar a rosa de quatro pétalas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os zeros e extremos de r. Como r=3sin2theta, temos:
sin2theta=0 Leftrightarrow 2theta=kpi Rightarrow theta=kpi2
que dá r=0. Máximos e mínimos ocorrem quando
sin2theta=pm1 Leftrightarrow 2theta=pi2+kpi Rightarrow theta=pi4+kpi2
Nesses pontos r=pm3.

Passo 3

Montamos uma tabela com valores críticos para orientar o esboço:
theta &: 0, pi4, pi2, 3pi4, pi, 5pi4, 3pi2, 7pi4, 2pi r &=3sin2theta: 0, 3, 0, -3, 0, 3, 0, -3, 0
Para r>0 (por exemplo em theta=pi/4 e 5pi/4) temos pétalas nos próprios ângulos; para r<0 (em 3pi/4 e 7pi/4) o ponto fica invertido em theta+pi, gerando as outras duas pétalas.

Passo 4

Agora é só marcar no plano polar os ângulos onde as pétalas atingem comprimento máximo 3. As quatro direções finais são:
theta=pi4, 3pi4, 5pi4, 7pi4
Em cada uma delas traçamos um arco suave que parte da origem, alcança r=3 no meio do petalo, e volta à origem nos extremos definidos pelos zeros (a cada pi/2).
Gostamos de simetria: o desenho se repete a cada pi/2. Liga-se suavemente os pontos obtidos, formando quatro pétalas iguais de comprimento 3 e formato de folhinha.

Passo 5

O esboço final é uma “rosa” com quatro pétalas, centrada na origem, com pétalas apontando para 45^circ,135^circ,225^circ e 315^circ, todas com raio máximo 3.

Resposta

É uma rosa de quatro pétalas de comprimento máximo 3, com pétalas apontando nos ângulos pi4,3pi4,5pi4 e 7pi4.

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