Usando coordenadas polares faça o esboço das curvas dadas pelas equações.
r=2 cos 2 theta (rosa de quatro pétalas)

Passo 1

Enunciado resumido: a curva polar é dada por r=2cos(2theta), que descreve uma rosa de quatro pétalas. Vamos esboçar esta curva analisando onde r zera, atinge extremos e como se comporta em cada intervalo de theta.

Passo 2

Determinar os zeros de r: temos r=0 quando cos(2theta)=0. Isso ocorre se 2theta=tfracpi2+kpi, ou seja theta=tfracpi4+ktfracpi2. São os ângulos onde a rosa intersecta a origem.

Passo 3

Achar os extremos de r: r máximo 2 ocorre em cos(2theta)=1 2theta=2kpi theta=kpi ( 0,pi). r mínimo -2 ocorre em cos(2theta)=-1 2theta=pi+2kpi theta=tfracpi2+kpi ( tfracpi2,tfrac3pi2).

Passo 4

Interpretar r negativo: para theta=tfracpi2 obtemos r=-2, que no plano polar é o ponto de módulo 2 e direção theta+pi=tfrac3pi2 (pétala inferior). De forma análoga, para theta=tfrac3pi2 gera a pétala superior.

Passo 5

Esboçar a curva conectando os pontos-chave: em cada intervalo de largura tfracpi2 entre as raízes de r, traçar uma pétala que cresce de r=0 até |r|=2 e volta a r=0. O resultado é uma rosa com quatro pétalas simétricas de comprimento 2, apontando para os eixos ( 0^circ, 90^circ, 180^circ, 270^circ).

Resposta

Rosa de quatro pétalas de raio máximo 2, com pétalas alinhadas aos eixos polares em theta=0,tfracpi2,pi e tfrac3pi2.

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