14^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

No estudo de perda de carga de determinado trecho de uma tubulação de distribuição de água em PVC com 30 metros de comprimento e 40 mm de diâmetro, constataram-se as seguintes singularidades: 3 joelhos de 450 , 2 curvas de 900 e 1 registro de gaveta aberto. Verificar em quanto representaria as perdas de cargas localizadas em relação à perda de carga total ao longo deste trecho de tubulação ( necessário deixar a memória de cálculo e considerações).

Passo 1

O enunciado pede para verificar “em quanto representariam as perdas de cargas localizadas em relação à perda de carga total” para um trecho de tubulação com os dados a seguir:
  • comprimento da tubulação: L=30\\ \mathrm{m}
  • diâmetro: D=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m}
  • singularidades: 3 joelhos de 45^\circ, 2 curvas de 90^\circ e 1 registro de gaveta aberto.
Ou seja, precisamos calcular a fração (ou percentual) das perdas de carga causadas pelas singularidades (perdas localizadas) em relação à perda de carga total (perda por atrito distribuída ao longo do comprimento + perdas localizadas). O enunciado não fornece vazão, velocidade nem fator de atrito; portanto usaremos um método em que esses valores se cancelam (método do comprimento equivalente), e explicarei e justificarei todas as hipóteses que eu fizer.

Passo 2

Teoria essencial — o que são as fórmulas que vamos usar e o significado dos termos (aula rápida e prática).
  1. Perda de carga por atrito distribuído (Darcy–Weisbach): a perda de carga ao longo de um comprimento L de tubulação é dada por
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito (m);
  • f é o fator de atrito adimensional (depende de Reynolds e rugosidade);
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m);
  • V é a velocidade média do fluido (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
  1. Perdas localizadas (singularidades): cada peça gera uma perda proporcional a V^2/2g:
h_{l,i} = K_i\,\frac{V^2}{2g},
onde K_i é o coeficiente de perda da i-ésima singularidade (adimensional).
  1. Método do comprimento equivalente: muitas tabelas fornecem, para cada singularidade, o comprimento equivalente em termos de D, isto é um número \left(\frac{L_e}{D}\right)_i tal que a perda localizada possa ser escrita como uma perda por atrito em um comprimento L_{e,i}:
h_{l,i} = f\,\frac{L_{e,i}}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Assim, o coeficiente K_i está relacionado por
K_i = f\,\frac{L_{e,i}}{D}.
Vantagem prática: somando os L_{e,i} transformamos todas as perdas localizadas em um comprimento “adicional” equivalente, e a perda total fica como uma perda por atrito em um comprimento total L + \sum L_{e,i}:
h_{\text{total}} = f\,\frac{L+\sum L_{e,i}}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Importante: como ambos os termos (distribuído e equivalente) têm o mesmo fator f e o mesmo fator \dfrac{V^2}{2g}, ao calcular a fração das perdas localizadas sobre a perda total essas quantidades cancelam — portanto não precisamos saber f nem V. Isso é ótimo quando o enunciado não dá vazão.

Passo 3

Escolha dos valores de comprimento equivalente \dfrac{L_e}{D} para cada singularidade e justificativa das hipóteses.
Como o enunciado não especifica o raio dos joelhos (curto ou longo) nem o tipo exato do registro além de “gaveta aberto”, preciso assumir valores típicos de tabelas técnicas para peças comerciais curtas (hipótese comum em exercícios). Vou usar valores típicos encontrados em manuais técnicos para peças de joelhos e registros (esses valores são normalmente tabelados). Minhas escolhas (hipótese de trabalho, razoável para PVC comercial curto) são:
  • Para cada joelho de 45^\circ (curto): \dfrac{L_e}{D}=16.
  • Para cada curva/joelho de 90^\circ (curto): \dfrac{L_e}{D}=30.
  • Para registro de gaveta totalmente aberto: \dfrac{L_e}{D}=8.
Obs.: se suas tabelas da aula derem outros valores (por exemplo 45^\circ com 12 ou 90^\circ com 20), basta substituir e recalcular; o procedimento é idêntico. Aqui eu explico a memória de cálculo com esses valores típicos.

Passo 4

Cálculo do comprimento equivalente total das singularidades em termos de D e em metros.
Número de peças e soma dos \dfrac{L_e}{D}:
  • 3 joelhos de 45^\circ: contribuição = 3\times 16 = 48 (em unidades D).
  • 2 curvas de 90^\circ: contribuição = 2\times 30 = 60 (em unidades D).
  • 1 registro de gaveta aberto: contribuição = 1\times 8 = 8 (em unidades D).
Somando:
\frac{\sum L_e}{D} = 48 + 60 + 8 = 116.
Convertendo para comprimento equivalente em metros:
\sum L_e = 116 \times D = 116 \times 0,04\\ \mathrm{m} = 4,64\\ \mathrm{m}.
Portanto o comprimento total equivalente (tubulação mais singularidades) é:
L_{\text{eq,total}} = L + \sum L_e = 30\\ \mathrm{m} + 4,64\\ \mathrm{m} = 34,64\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da fração (percentual) das perdas localizadas em relação à perda total usando o método do comprimento equivalente.
Como vimos,
h_{\text{local}} = f\,\frac{\sum L_e}{D}\,\frac{V^2}{2g},\qquad h_{\text{total}} = f\,\frac{L+\sum L_e}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
A razão (fração) é então
\text{fração} = \frac{h_{\text{local}}}{h_{\text{total}}} = \frac{\sum L_e}{L + \sum L_e}.çã
Substituindo os números:
\text{fração} = \frac{4,64}{30 + 4,64} = \frac{4,64}{34,64}\approx 0,133925\ldotsçã
Convertendo para percentual:
\text{percentual} \approx 13,4\%.
Interpretação: com as hipóteses de \dfrac{L_e}{D} escolhidas, as perdas localizadas representam cerca de 13,4\% da perda de carga total do trecho.

Passo 6

Considerações finais, sensibilidade e dicas práticas (como na prova).
  • Esta resposta é independente de vazão e do fator de atrito f porque usamos o método do comprimento equivalente (bom para exercícios quando faltam V e f).
  • Se você tiver uma tabela diferente de \dfrac{L_e}{D} (por ex. \dfrac{L_e}{D} menor para joelhos de raio longo), refaça a soma e recalcule a fração usando a fórmula do Passo 5; o procedimento é o mesmo.
  • Se na prova pedirem usar os coeficientes K_i (em vez de \dfrac{L_e}{D}), lembre que K_i = f\cdot\frac{L_{e,i}}{D}. Você pode somar os K_i e usar
\text{fração} = \frac{\sum K_i}{f\frac{L}{D} + \sum K_i},çã
o que, substituindo K_i=f\frac{L_{e,i}}{D}, volta à fórmula do comprimento equivalente. Novamente, se f não for dada e você só conhece os K_i numéricos, pode calcular diretamente a fração com estes K_i e a parte de atrito f\frac{L}{D} exigirá f; por isso o método de comprimento equivalente é geralmente mais prático aqui.
  • Para motivar: se trocarmos os joelhos por versões de raio maior (reduzindo \dfrac{L_e}{D}), a contribuição das perdas localizadas cai; por isso em projetos práticos usa-se, quando possível, curvas com raio maior para reduzir perdas.

Resposta

13,4\%

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